Come stimare il numero $e$ prendendo a cannonate un muro!!

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Come stimare il numero $e$ prendendo a cannonate un muro!!

Messaggioda Parsec il lun 21 dic 2015, 18:52

Buona sera a tutto il forum

Una curiosità matematica semplice semplice:

Il semplice esperimento dell'ago di Buffon, è una dimostrazione di come il numero $\pi$ "salti fuori" molte volte in maniera inaspettata. In realtà
è la geometria stessa delle righe sul pavimento e la distriuzione uniforme degli angoli che l'ago può assumere cadendo sul pavimento che fanno in
modo che ciò avvenga. Quindi, è la "geometria" del nostro esperimento, che "partorisce" $\pi$ stesso.
Ora, possiamo immaginare, un esperimento analogo, per far "partorire" alla geometria di un certo esperimento anche il numero di Eulero.
Per far ciò, la geometria più elementare che mi viene in mente è quella dela "catenaria"; una filo appeso per i suoi estremi e soggetto al suo peso si dispone secondo una curva, la quale, non è altro che un coseno iperbolico; quindi la geometria di una corda appesa per i suoi estremi è "pilotata" dal numero $e$.
Si immagini allora un esperimento ideale in cui un cannone spari contro un muro. La particolarità di questo cannone, è che dopo ogni colpo, l'alzo e il brandeggio
sono regolati in maniera del tutto casuale da un qualche tipo di meccanismo random, oppure, in alternativa, si può pensare che il servente del pezzo si sia scolato l'intera riserva di brandy del suo galeone, si veda a tal proposito il disegno che ho preparato.
Il muro su cui vengono sparate le bordate ha un'altezza $H$ ed una larghezza $L$ e il "ventre" della corda penzoli ad un'altezza $h$.
Siano $N_{tot}$ il numero totale di colpi sparati ed $N_{i}$ il numero di colpi che passano sotto la corda; chiamo $\xi=\frac{N_{i}}{N_{tot}}$ il loro rapporto con pochi semplici calcoli, trovo che il numero $e$ viene stimato con la seguente formula che è l'analoga dell'esperimento dell'ago di Buffon:


$e \sim1+\sqrt{\frac{2(H-h)}{H(1-\xi)}}$

La formuletta diventa ancora più semplice e carina, quando la corda è regolata in modo che il suo "ventre" sia tangente al pavimento; in tal caso $h=0$ e trovo che:

$e \sim1+\sqrt{\frac{2}{1-\xi}}$

Come si può vedere, non c'è nessuna dipendenza dalle dimensioni geometriche del sistema.
Ovviamente non è necessario demolire i muri casa per fare questo esperimento; per esempio se si dispone di tapezzeria con motivi floreali (o un qualche altro tipo di decoro)
bisogna contare il numero totale di fiori e il numero totale di fiori sotto la corda; oppure, l'esperimento può essere "tascabilizzato" predisponendo uno spago su un foglio a quadretti messo in verticale ed eseguire l'analogo conteggio dei quadretti.
Allegati
Gh's gun2.jpg
simulazione con 500 "spari"
Gh's gun2.jpg (31.94 KiB) Osservato 971 volte
Gh's gun1.jpg
il cannone "ubriaco"
Gh's gun1.jpg (73.02 KiB) Osservato 971 volte
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