Spaghetti

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Messaggioda pic il lun 24 set 2012, 21:40

Abbiamo un piatto di K spaghetti. Prendiamo due estremita' e le uniamo tra loro. Ripetiamo l'operazione N volte. Quanti cerchi abbiamo, in media, alla fine?
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pic
 
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Messaggioda Fedecart il lun 24 set 2012, 22:14

Supponi di aver pescato un estremità di uno spaghetto. Allora ci sono ancora 2K-1 estremità . Dunque, c'è una probabilità di \frac{1}{2K-1} che un anello sia formato scegliendo a caso l'altra estremità dello stesso spaghetto. C'è anche una probabilità \frac{2K-2}{2K-1} che l'anello non sia formato. Nel primo caso avremo un anello e K-1 speghetti non inanellati. Anche nel secondo caso avremo K-1 spaghetti inanellati, perchè tutto quello che abbiamo fatto consiste semplicemente nel raddoppiare la lunghezza di uno spaghetto! Allora, alla fine della prima "mossa", abbiamo in ogni caso K-1 spaghetti rimasti e in media \frac{1}{2K-1} anelli.
Ora basta ripetere il ragionamento al secondo step, con K-1 spaghetti. Certamente rimarremo con K-2 spaghetti e anche in media altri 1/(2K-3) anelli. Ripetiamo il processo per un totale di N volte.

Sommando il numero medio di anelli ottenuti ad ogni step abbiamo

\displaystyle \sum_{j=0}^{N-1} \frac{1}{2K-(2j+1)}

che credo sia la risposta.
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