Un semplice(?) esercizio con il tensore metrico

Geometria euclidea, cartesiana, algebrica, differenziale e topologia

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Un semplice(?) esercizio con il tensore metrico

Messaggioda Elle il mer 20 apr 2016, 23:34

Salve a tutti. Vi vorrei sottoporre un piccolo esercizio che nonostante la sua apparente semplicità mi sta facendo dannare.
Dato $ \vec{v}$ campo vettoriale su $\mathbb{R}^3$ devo ricavare, utilizzando il tensore metrico ed il formalismo covariante, una formula per $ \Delta \vec{v} $ in coordinate sferiche. La formula è presente qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Nabla_in_ ... e_sferiche


Sia$ \vec{v} $ un campo vettoriale su $\mathbb{R}^3$.
Sia $(x^1,x^2,x^3)=(r,\theta,\phi)$.
Si consideri:
$z^1=r\sin\theta\cos\phi,\;\;\; z^2=r\sin\theta\sin\phi,\;\;\; z^3=r\cos\theta$

$ \vec{b_a}=\dfrac{\partial z^i}{\partial x^a} \vec{e_i}$ (vale al solito la convenzione sugli indici ripetuti...)

dove $\vec{e_1}=(1,0,0)$, $\vec{e_2}=(0,1,0)$, $\vec{e_3}=(0,0,1)$

In coordiante sferiche $g_{11}=1,\; g_{22}=r^2,\; g_{33}=r^2\sin^2\theta$.

peri i simboli di Christoffel, ad esempio, vedi http://www.nicadd.niu.edu/~bterzic/PHYS ... dix_02.pdf (pagina 5... non avevo voglia a copiarli XD)

Per definizione $\nabla \vec{v}=v^a_{\,\,;b}\vec{b_a}\otimes \underrightarrow{b^b}$
($\underrightarrow{b^b}$ è un covettore)
e $ \Delta \vec{v}=div(\nabla\vec{v}g^{-1})=(v^a_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c} \vec{b_a}=(v^a_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c} \vec{b_a} = (v^1_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c} \vec{b_1}+(v^2_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c} \vec{b_2}+(v^3_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c} \vec{b_3}$.

Quello che ho pensato di fare è di esplicitare la sommatoria sua $a$, cioè le tre componenti del laplaciano, per poi notare che ognuna di esse è la divergenza di un vettore e quindi sfruttare una nota formula per la divergenza di un vettore (riportata poco più sotto)

Per ora proverò solo la prima componente: considererò solo $ (v^1_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c} $ per ora (che già questa non mi torna :x )

Noto che fissato il valore dell'indice $a $ (in questo caso uguale a 1), come detto prima, si ha che $ v^1_{\,\,;b} g^{bc} $ è un vettore e $(v^1_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c} $ è la sua divergenza.

Ricordo che esiste una formula molto semplice per la divergenza di un campo vettoriale: $div(\vec{w})=\dfrac{1}{\sqrt{detG}}\dfrac{\partial}{\partial x^c}\biggl(\sqrt{detG} w^c\biggr)$
dove $detG$ è il determinante della matrice associata al tensore metrico e $\vec{w} $ è un generico campo vettoriale.

Quindi $(v^1_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c} = div( v^1_{\,\,\,;b} g^{bc}) = \dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial x^c}\biggl(r^2\sin\theta\; v^1_{\,\,;b} g^{bc} \biggr)$
$=\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\biggl[\dfrac{\partial}{\partial x^1}\biggl(r^2\sin\theta\; v^1_{\,\,;b} g^{b1} \biggr) + \dfrac{\partial}{\partial x^2}\biggl(r^2\sin\theta\; v^1_{\,\,;b} g^{b2} \biggr) + \dfrac{\partial}{\partial x^3}\biggl(r^2\sin\theta\; v^1_{\,\,;b} g^{b3} \biggr)\biggr]=$

$ =\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\biggl[\dfrac{\partial}{\partial x^1}\biggl(r^2\sin\theta\; v^1_{\,\,;1} g^{11} \biggr) + \dfrac{\partial}{\partial x^2}\biggl(r^2\sin\theta\; v^1_{\,\,;2} g^{22} \biggr) + \dfrac{\partial}{\partial x^3}\biggl(r^2\sin\theta\; v^1_{\,\,;3} g^{33} \biggr)\biggr]$

dove nell'ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che il tensore metrico è diagonale.

Quindi $ \biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^1=(v^1_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c}=\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\biggl[\dfrac{\partial}{\partial r}\biggl(r^2\sin\theta\; \dfrac{\partial v^1}{\partial r}\biggr) + \dfrac{\partial}{\partial \theta}\biggl(r^2\sin\theta\; \biggl(\dfrac{\partial v^1}{\partial \theta}-rv^2\biggr) \dfrac{1}{r^2} \biggr) $
$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \dfrac{\partial}{\partial \phi}\biggl(r^2\sin\theta\; \biggl(\dfrac{\partial v^1}{\partial \phi}-r\sin^2\theta v^3\biggr) \dfrac{1}{r^2\sin^2 \theta} \biggr)\biggr]$

Calcolando le derivate ho $(v^1_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c}= \dfrac{2}{r}\dfrac{\partial v^1}{\partial r} + \dfrac{\partial^2 v^1}{\partial r^2}+ \dfrac{\cos\theta}{r^2 \sin\theta}\dfrac{\partial v^1}{\partial \theta}+ \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 v^1}{\partial \theta^2}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v^2}{\partial \theta}- \dfrac{\cos\theta}{r\sin\theta} v^2 + \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2 v^1}{\partial \phi^2}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v^3}{\partial \phi}$

Questa prima componente è diversa dalla prima componente del laplaciano presente nella pagina di wikipedia.
Ho pensato che il problema fosse la base poichè nelle formule di wikipedia non viene usata la base così come l'ho definita io ma quella normalizzata. Quindi vado a ricavare la base di wikipedia andando a normalizzare la mia
$\hat{r}:=\vec{b_1}$, $\hat{\theta}:=\vec{b_2}/r$, $\hat{\phi}:=\vec{b_3}/(r\sin\theta)$

$\vec{v}=v^1\vec{b_1}+v^2\vec{b_2}+v^3\vec{b_3}=v^r\hat{r}+v^\theta\hat{\theta}+v^\phi\hat{\phi}$

dove $v^r=v^1$, $v^\theta=r v^2$, $v^\phi=r\sin\theta v^3$
e quindi anche il laplaciano sarà scritto come $\Delta \vec{v}\ = \biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^1 \vec{b_1}+\biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^2\vec{b_2}+\biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^3\vec{b_3} = \biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^r \hat{r}+\biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^\theta\vec{\theta}+\biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^\phi \hat{\phi} $
con $ \biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^1= \biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^r$,
$ \biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^2= r \biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^\theta$,
$ \biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^3= r \sin\theta\biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^\phi$


Sostituisco nella formula precedente ed ho

$\biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^1=\biggl(\Delta \vec{v}\biggr)^r=(v^1_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c}= \dfrac{2}{r}\dfrac{\partial v^r}{\partial r} + \dfrac{\partial^2 v^r}{\partial r^2}+ \dfrac{\cos\theta}{r^2 \sin\theta}\dfrac{\partial v^r}{\partial \theta}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 v^r}{\partial \theta^2}-\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial v^\theta}{\partial \theta}- \dfrac{\cos\theta}{r^2\sin\theta} v^\theta + \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2 v^r}{\partial \phi^2}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial v^\phi}{\partial \phi}$

che è comunque differente dalla formula di wikipedia.


Dove sbaglio?

Riconosco che l'esercizio dovrebbe essere facile... si tratta di svolgere dei conti però non ottengo il risultato sperato e non capisco il motivo.

Forse sbaglio a definire il laplaciano del campo vettoriale come $ \Delta \vec{v}=div(\nabla\vec{v}g^{-1})=(v^a_{\,\,\,;b} g^{bc})_{;c} \vec{b_a}$. Non so...

Un qualsiasi aiuto sarebbe gradito.
Anche solo un libro che tratti la questione sarebbe utile (in quelli che ho consultato non ho trovato questa formula... al massimo arrivavano a dimostrare la notissima formula $div(\vec{w})=\dfrac{1}{\sqrt{detG}}\dfrac{\partial}{\partial x^c}\biggl(\sqrt{detG} w^c\biggr)$ )

Grazie :bye:
Elle
 
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