$f\colon X\to Y$ che induce iso razionali e mod p li induce sempre

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$f\colon X\to Y$ che induce iso razionali e mod p li induce sempre

Messaggioda killing_buddha il dom 27 dic 2015, 17:59

Vacanze di Natale e' sinonimo di "omotopia razionale"; mostrate questo fattucolo.

Se $f\colon X\to Y$ e' una mappa di spazi decenti, che induce isomorfismi $H_*(X, \mathbb Q)\to H_*(Y, \mathbb Q)$ e $H_*(X, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\to H_*(Y,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ , allora $f$ induce anche un isomorfismo $H_*(X,\mathbb Z)\to H_*(Y, \mathbb Z)$.
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Re: $f\colon X\to Y$ che induce iso razionali e mod p li induce sempre

Messaggioda maurer il gio 31 dic 2015, 16:59

killing_buddha ha scritto:Se $f\colon X\to Y$ e' una mappa di spazi decenti [...]

Io lo so fare assumendo che $H_n(X; \mathbb Z)$ e $H_n(Y; \mathbb Z)$ siano finitamente generati. Si può fare più in generale?
Inoltre, sotto quest'ipotesi, mi pare di non aver bisogno dell'ipotesi che $H_*(X; \mathbb Q) \to H_*(Y; \mathbb Q)$ sia un isomorfismo, il che mi pare un po' strano. Siete a conoscenza di controesempi "ben noti" oppure vedete degli errori nella mia dimostrazione?

Userò la notazione omologica. Per ogni numero primo $p \in \mathbb Z$ abbiamo un $\infty$-funtore $F_p : \mathbf{Mod}^{\mathrm{cn}}_{\mathbb Z} \to \mathbf{Mod}^{\mathrm{cn}}_{\mathbb F_p}$. Qui $\mathbf{Mod}_R^{\mathrm{cn}}$ denota l'$\infty$-categoria stabile degli $R$-moduli connettivi, ogni qualvolta $R$ è un $\mathbb E_\infty$-anello connettivo.

Siccome $\mathbb Z$ è un PID, la sua dimensione proiettiva è 1 e pertanto per ogni complesso di catene $M_\bullet$ ed ogni altro gruppo abeliano $N$, la successione spettrale di iper(co)omologia $H_i(N \otimes M_j) \Rightarrow H_{i+j}(N \otimes M_\bullet)$ degenera alla pagina 2, producendo due linee verticali adiacenti.
Abbiamo quindi successioni esatte corte
$$ 0 \to H_n(M_\bullet) \otimes_{\mathbb Z} N \to H_n(N \otimes_{\mathbb Z} M_\bullet) \to \mathrm{Tor}_1^{\mathbb Z}( N, H_{n+1}(M_\bullet)) \to 0 $$ La successione spettrale utilizzata è funtoriale in $M_\bullet$ e di conseguenza le successioni esatte corte ottenute sono a loro volta funtoriali in $M_\bullet$.

Diamoci allora una mappa $f_\bullet : M_\bullet \to M'_{\bullet}$ in $\mathbf{Mod}^{\mathrm{cn}}_{\mathbb Z}$. Supponiamo che:
  • i gruppi di omologia $H_n(M_\bullet)$ e $H_n(M'_{\bullet})$ siano finitamente generati;
  • $F_p(f_\bullet)$ sia un quasi-isomorfismo per ogni primo $p$.
Possiamo supporre senza perdere di generalità che per $n \ll 0$ grande abbastanza si abbia $H_{n+1}(M_\bullet) = H_{n+1}(M'_{\bullet}) = 0$. Procedendo per induzione discendente su $n$, possiamo quindi supporre che $H_{n+1}(f_\bullet)$ sia un isomorfismo e dobbiamo dimostrare che la stessa cosa vale per $H_n(f_\bullet)$. Per ipotesi abbiamo che la mappa $H_n(\mathbb F_p \otimes f_\bullet)$ è un isomorfismo. Utilizzando la successione esatta corta di cui prima ed il lemma dei cinque, otteniamo che la mappa $H_n(f_\bullet) \otimes_{\mathbb Z} \mathbb F_p$ è un isomorfismo.
Siccome $H_n(f_\bullet)$ è finitamente generato, possiamo utilizzare il lemma di Nakayama per dedurre che $H_n(f_\bullet) \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z_{(p)} \simeq 0$. Siccome questo vale per ogni primo $p$ e la condizione di essere un isomorfismo è locale su $\mathrm{Spec}(\mathbb Z)$, deduciamo che $H_n(f_\bullet)$ è un isomorfismo a sua volta, da cui segue la conclusione.
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Re: $f\colon X\to Y$ che induce iso razionali e mod p li induce sempre

Messaggioda Ousia il ven 1 gen 2016, 0:34

Se ne parlava anche qui, ed effettivamente il fatto che il rango di $G \otimes \mathbb Z/(p)$ (visto come $\mathbb Z/(p)$ modulo libero) tenga conto anche della parte libera di $G$ credo sia "la ragione" per cui nel caso finitamente generato non serve l'ipotesi che $H_*(X,\mathbb Q) \to H_*(Y, \mathbb Q)$ sia un isomorfismo. Se è così, allora per trovare un controesempio bisogna cercare tra spazi con omologia non finitamente generata
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Re: $f\colon X\to Y$ che induce iso razionali e mod p li induce sempre

Messaggioda maurer il ven 1 gen 2016, 3:28

Grazie per il link!

C'era un secondo metodo che mi sarebbe piaciuto utilizzare, ma non riesco ancora a farlo funzionare per bene. Riporto lo sketch di quello che avevo in testa, magari se ne può discutere. Se funzionasse sarebbe carino.

Vorrei utilizzare i seguenti due fatti:

Proposizione (Sullivan's arithmetic square). Per ogni numero primo $p$, si ha $\mathbb Z \simeq \mathbb Q \times_{\mathbb Q_p} \mathbb Z_p$, dove $\mathbb Z_p$ sono gli interi $p$-adici e $\mathbb Q_p = \mathbb Z_p \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q$ sono i razionali $p$-adici. Inoltre $\mathbb Z \simeq \mathbb Q \times_{\prod \mathbb Q_p} \prod \mathbb Z_p$ dove i prodotti sono presi su tutti i numeri primi.

Lemma (cf. DAG-IX, Proposition 7.4). Sia $A \simeq A_0 \times_{A_{01}} A_1$ un prodotto in $\mathbf{CAlg}_{\mathbb Z}$, gli $\mathbb E_\infty$-anelli (non necessariamente connettivi) che sono $\mathbb Z$-lineari. Allora, il funtore canonico $\mathbf{Mod}_A \to \mathbf{Mod}_{A_0} \times_{\mathbf{Mod}_{A_{01}}} \mathbf{Mod}_{A_1}$ è pienamente fedele. In particolare, il funtore indotto $\mathbf{Mod}_A \to \mathbf{Mod}_{A_0} \times \mathbf{Mod}_{A_1}$ è conservativo.

Se fosse vero che il quadrato aritmetico di Sullivan è un pullback negli $\mathbb E_\infty$-anelli non necessariamente connettivi, potremmo combinare questi due fatti per ottenere che il funtore
$$\mathbf{Mod}_{\mathbb Z} \to \mathbf{Mod}_{\mathbb Q} \times \prod_p \mathbf{Mod}_{\mathbb Z_p}$$ è conservativo. D'altra parte,
$$\mathbf{Mod}_{\mathbb Z_p} \simeq \varprojlim_n \mathbf{Mod}_{\mathbb Z / p^n \mathbb Z}.$$ Pertanto, l'$\infty$-funtore
$$\mathbf{Mod}_{\mathbb Z_p} \to \prod_p \mathbf{Mod}_{\mathbb Z / p^n \mathbb Z}$$ è conservativo.
Ammesso di riuscire a farlo funzionare, questo argomento produrrebbe una dimostrazione "concettuale" che personalmente troverei molto soddisfacente del fatto che se una mappa $f : X \to Y$ di CW complessi induce equivalenze $H_*(X; \mathbb Q) \to H_*(Y; \mathbb Q)$ e $H_*(X; \mathbb Z / p^n \mathbb Z) \to H_*(Y; \mathbb Z / p^n \mathbb Z)$, allora $f$ induce un'equivalenza $H_*(X; \mathbb Z) \to H_*(Y; \mathbb Z)$.

Per far funzionare questo approccio, basterebbe rispondere affermativamente ad una delle due seguenti domande:
  1. È vero che $\mathbb Z \simeq \mathbb Q \times_{\mathbb Q_p} \mathbb Z_p$ negli $\mathbb E_\infty$-anelli non necessariamente connettivi?
  2. In caso contrario, poniamo $A := \mathbb Q \times_{\mathbb Q_p} \mathbb Z_p$. Allora $\mathbb Z$ è certamente il troncamento connettivo di $A$. È vero che il funtore indotto $\mathbf{Mod}_{\mathbb Z} \to \mathbf{Mod}_A$ è conservativo?
Mi piacerebbe se tutto ciò fosse vero, ma temo che 1. sia falsa...
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Re: $f\colon X\to Y$ che induce iso razionali e mod p li induce sempre

Messaggioda killing_buddha il ven 1 gen 2016, 12:41

Quel link contiene (nascosto) uno sketch della dimostrazione anche per spazi con omologia non finitamente generata: si basa su alcuni trucchi.

  • E' facile dimostrare che per ogni primo $p$ si ha $H_*(f, \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})$ e' un isomorfismo; si usano le successioni esatte corte $0\to \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \to 0$ e le conseguenti successioni lunghe in omologia;
  • Allora $H_*(f, \mathbb{Z}/p^\infty)$ e' un isomorfismo se $\mathbb{Z}/p^\infty\cong \varinjlim \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ e' il gruppo di Prufer;
  • Ora, esiste una successione esatta corta $0\to \mathbb Z\to \mathbb Q\to \bigoplus_{p\text{ primo}} \mathbb{Z}/p^\infty\to 0$; si puo' usare la conseguente successione lunga in omologia per concludere.
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Re: $f\colon X\to Y$ che induce iso razionali e mod p li induce sempre

Messaggioda maurer il ven 1 gen 2016, 14:34

Sì, avevo letto il tuo intervento! Molto interessante!

Visto che siamo in vena di discussioni, c'è anche un altro trucco che si può utilizzare per estendere il risultato a CW complessi arbitrari, che mi è venuto in mente dopo che ho letto il tuo metodo. Si basa su due passaggi:

  1. Sia $\mathcal C$ la sottocategoria piena dell'$\infty$-categoria $\mathrm{Fun}(\Delta^1, \mathcal S)$ degli spazi generata dagli oggetti $f : X \to Y$ con la seguente proprietà: se $\mathrm H_*(f; \mathbb Q)$ e $\mathrm H_*(f; \mathbb F_p)$ sono isomorfismi per ogni primo $p$, allora $H_*(f; \mathbb Z)$ è un isomorfismo.
    Allora $\mathcal C$ ha le due proprietà seguenti:
    1. $\mathcal C$ è chiusa per retratti. Infatti, se $f : X \to Y$ è retratto di $g : X' \to Y'$ e $g \in \mathcal C$, allora $\mathrm H_*(f)$ è retratto di $\mathrm H_*(g)$ e quindi l'asserto segue dal fatto che gli isomorfismi sono chiusi per retrazioni.
    2. $\mathcal C$ è chiusa per colimiti (omotopici). In effetti, possiamo scrivere $\mathrm H_*(f; \mathbb Q) = \pi_*( \Sigma^\infty_+(f) \wedge \mathrm H \mathbb Q )$; e adesso basta osservare che $\Sigma^\infty_+$ e $- \wedge \mathrm H\mathbb Q$ commutano ai colimiti (omotopici).
  2. Gli oggetti compatti di $\mathrm{Fun}(\Delta^1, \mathcal S)$ sono precisamente le frecce $f : X \to Y$ in $\mathcal S$ tali che $X$ e $Y$ siano oggetti compatti in $\mathcal S$. D'altronde, $\mathcal S^\omega$ può essere descritta precisamente come la chiusura per retrazioni di $\mathcal S^{\mathrm{fin}}$, la sottocategoria piena di $\mathcal S$ generata dai CW complessi finiti. Utilizzando il fatto che l'omologia cellulare coincide con quella singolare, vediamo che i gruppi di omologia di un CW complesso finito sono di presentazione finita. Quindi se $X, Y \in \mathcal S^{\mathrm{fin}}$ allora una qualunque mappa $f : X \to Y$ appartiene a $\mathcal C$. Segue dal punto precedente che $\mathcal C = \mathrm{Fun}(\Delta^1, \mathcal S)$.

Comunque trovo che sarebbe desiderabile capire per bene il metodo che delineavo poco fa, basato sul quadrato aritmetico di Sullivan. Quello che ho riportato è solo la versione "aritmetica", ma ne esiste una versione omotopica (nota come "fracture theorem") che, in una versione semplificata, recita la cosa seguente:

Teorema (Fracture Theorem). Sia $X$ uno spettro. Allora
$$X \simeq L_{\mathbb Q}(X) \times^{\mathrm h}_{L_{\mathbb Q} \prod L_p(X)} \prod L_p(X),$$ dove $L_{\mathbb Q}$ denota la localizzazione a $\mathrm H \mathbb Q$ (ossia la razionalizzazione) e $L_p$ denota la localizzazione allo spettro di Moore $\mathcal M(\mathbb F_p)$.

Sarei tentato di dire che prendendo $X = \mathrm H \mathbb Z$ si ha $L_{\mathbb Q}(X) \simeq \mathrm H \mathbb Q$ e $L_p(X) \simeq \mathrm H(\mathbb Z_p)$. Se ciò fosse vero, il risultato seguirebbe in modo più o meno evidente. Tuttavia, non ho una dimostrazione per il momento...
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Re: $f\colon X\to Y$ che induce iso razionali e mod p li induce sempre

Messaggioda killing_buddha il mer 6 gen 2016, 19:15

Hai una referenza per quel fracture theorem e per la teoria correlata? Tra i libri che trattino questo argomento conosco solo il "More Concise...".
Non e' la prima volta che in questo periodo incontro questo genere di risultati; volevo un po' di materiale da leggere.
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Re: $f\colon X\to Y$ che induce iso razionali e mod p li induce sempre

Messaggioda maurer il mer 6 gen 2016, 21:19

Sì: io avevo imparato qualcosina sulle note del corso Geometric topology di D. Sullivan e sulle note Quasicoherent sheaves on the moduli stack of formal groups di P. Goerss. Vedi in particolare il teorema 8.17 di quest'ultimo riferimento. Con le notazioni di quel teorema, sarebbe bello capire cos'ha di tanto particolare lo stack $\mathcal N$ per far sì che questo teorema sia valido. Sarei davvero interessato a vedere se si riesce a trovare una classe ampia di stacks (geometrici o addirittura spettrali) per cui un teorema analogo possa essere vero. Mi chiedo, ma qui sforo nel campo dei più audaci sogni, quale sia la relazione tra questo tipo di fracture theorems ed il teorema di nilpotenza di Hopkins...
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