Alcuni fatti sulla realizzazione di Segal

Geometria euclidea, cartesiana, algebrica, differenziale e topologia

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Alcuni fatti sulla realizzazione di Segal

Messaggioda killing_buddha il mar 24 nov 2015, 18:54

Come sempre in questi casi, $\bf Top$ e' un buon cosmo di spazi topologici; la categoria $\Gamma$, poi, e' definita come la categoria degli insiemi delle parti di insiemi finiti, i cui morfismi $f\colon 2^n\to 2^m$ sono funzioni di insieme che preservano unioni e differenze insiemistiche (editato dal precedente "complementazioni", che avevo male interpretato).

1. Esiste un ovvio funtore $\Delta\hookrightarrow \Gamma$, che manda la catena $\{0<1<\cdots<n\}$ in $\Delta$ nella catena $\{\varnothing\subset \{0\}\subset\cdots\subset \{0,\dots,n\}\}$ in $\Gamma$.

2. La categoria dei prefasci di spazi topologici $\Gamma^\text{op}\to \bf Top$ e' la categoria dei $\Gamma$-spazi; diciamo che un $\Gamma$-spazio e' "di Segal" se soddisfa la condizione di Segal in $\Gamma$, trasformando pushout in $\Gamma$ in pullback omotopici in $\bf Top$.
Piu' esplicitamente, se $A\colon \Gamma^\text{op}\to \bf Top$ e' un $\Gamma$-spazio, esso e' di Segal se (a) $A(0)$ e' contrattile e (b) la mappa canonica $A(n)\to \prod_{i=1}^n A(1)$ e' un'equivalenza omotopica in $\bf Top$.

Definizione. Per ogni $X\in\bf Top$ e ogni $A\colon \Gamma^\text{op}\to \bf Top$ definiamo $X\otimes A$ come la cofine (in $\bf Top$)
$$
\int^{n\in\Gamma} X^n\times A(n)
$$ 3. Proposizione. $S^1\otimes_\Gamma A$ e' omeomorfo alla realizzazione geometrica dello spazio simpliciale $\Delta^\text{op}\to \Gamma^\text{op}\xrightarrow{A}\bf Top$. Se $A$ e' di Segal, $S^1\otimes_\Gamma A\cong BA(1)$, dove $B(-)$ e' il funtore spazio classificante.

E' abbastanza evidente che si possa estendere la costruzione di $X\otimes_\Gamma A$ anche a cosmoi che sono legati a $\bf Top$ da funtori sufficientemente docili: per esempio le categorie topologiche, definendo $X\otimes_\Gamma \bf C$ come la cofine (in ${\bf Top}\text{-}\bf Cat$)
$$
\int^{n\in\Gamma} X^n\times {\bf C}(n)
$$ 4. Proposizione. Il funtore $X\otimes_\Gamma - \colon {\bf Top}\text{-}\bf Cat\to Cat$ commuta coi prodotti finiti, ovvero se $\bf C, D$ sono categorie topologiche, allora $X\otimes_\Gamma({\bf C\times D})\cong X\otimes_\Gamma{\bf C}\times X\otimes_\Gamma {\bf D}$.

Io credo che questo risultato sia piu' primitivo, e che per esempio si possa definire $X\otimes {\bf C}$ dove $\bf C$ e' un funtore $\Gamma^\text{op}\to\bf Cat$ come la cofine
$$
\int^{n\in\Gamma}X^n\times |{\bf C}(n)|
$$ dove $|-|$ e' lo spazio classificante; in effetti questa non e' nient'altro che $\left| \int^{n\in\Gamma}X^n\times {\bf C}(n) \right|$, interpretando in senso opportuno la corrispondenza.

Qualche suggerimento per mostrare le cose che ho enunciato? Poi vi spiego dove e come si usa.
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