$X\simeq \Sigma X$ implica $X\simeq *$?

Geometria euclidea, cartesiana, algebrica, differenziale e topologia

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$X\simeq \Sigma X$ implica $X\simeq *$?

Messaggioda killing_buddha il ven 14 ago 2015, 9:27

Se $X$ e' uno spazio topologico decente, ed esiste un'equivalenza omotopica tra $X$ e $\Sigma X$, posso dire che $X$ e' contraibile?
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Re: $X\simeq \Sigma X$ implica $X\simeq *$?

Messaggioda ma_go il ven 14 ago 2015, 13:59

se $X$ (o una sua qualunque sospensione) ammette una decomposizione in celle, sì.
infatti, sospendere alza la connettività, nel senso che se $X$ è $k$-connesso allora $\Sigma X$ è $k+1$-connesso (freudenthal, sostanzialmente).
quindi se $X\simeq \Sigma X$, allora $X$ ha la stessa omotopia di un punto, e per il teorema di whitehead è contrattile.
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