Sul teorema di invarianza (del dominio) nel caso di un dominio convesso

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Sul teorema di invarianza (del dominio) nel caso di un dominio convesso

Messaggioda salvo.tringali il dom 4 gen 2015, 7:59

Siano $n$ un intero positivo, $C$ un sottoinsieme di $\mathbf R^n$ e $f: C \to \mathbf R^n$ una funzione iniettiva e continua (nel senso usuale). In base al teorema di invarianza del dominio, sappiamo che $f[C]$ e' aperto se $C$ e' aperto, e la corestrizione di $f$ a $f[C]$ e' un omeomorfismo. E' ancora vero che $f$ e' un omeomorfismo se $C$ ed $f[C]$ sono convessi? Non conosco la risposta, e qualora fosse positiva mi piacerebbe avere una reference (se esiste).
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salvo.tringali
 
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Re: Sul teorema di invarianza (del dominio) nel caso di un dominio convesso

Messaggioda dario2994 il gio 7 mag 2015, 18:23

La risposta è negativa. Il mio controesempio vive in $\mathbb R^2\cong \mathbb C$, ma si generalizza facilmente in dimensione più alta (vale la pena notare che l'enunciato è vero in dimensione $1$).

Sia $C=\left\{\rho e^{i\theta}\in\mathbb C: \ 0\le \rho\le 1 \wedge 0\le\theta<\frac\pi2\right\}$ e $f:A\to\mathbb C$ la funzione $f(z)=z^4$; l'immagine $f[C]$ risulta essere la palla chiusa centrata in $0$ di raggio $1$.

È facile verificare che tutte le ipotesi sono rispettate ma $f$ non è un omeomorfismo con l'immagine (ad esempio guardando la controimmagine della circonferenza unitaria).
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