Lo spazio classificante di $\mathcal C^\text{op}$

Geometria euclidea, cartesiana, algebrica, differenziale e topologia

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Lo spazio classificante di $\mathcal C^\text{op}$

Messaggioda killing_buddha il mer 22 mag 2013, 8:02

Lo spazio classificante $\mathbb B\mathcal C$ di una categoria e' la realizzazione geometrica del suo nervo, $R(N(\cal C))$.
Bene: $\mathbb B\mathcal C\cong \mathbb B\mathcal C^\text{op}$.
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Re: Lo spazio classificante di $\mathcal C^\text{op}$

Messaggioda Feanor il mar 27 ott 2015, 14:46

A livello omotopico, si riesce a provare qualcosa di più generale. Per ogni localizzatore fondamentale $\mathcal W$ (v. definizione 1.1.3 qui) e per ogni categoria piccola $A$, si ha che $A$ ed $A^\text{op}$ sono legati da uno zig-zag di $\mathcal W$-equivalenze deboli; equivalentemente, sono oggetti isomorfi in $\mathcal W^{-1}\mathcal{Cat}$.
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Re: Lo spazio classificante di $\mathcal C^\text{op}$

Messaggioda Lana il mar 3 nov 2015, 18:14

Ahahah hai proprio overkillato!
Mi pare non sia arduo dimostrare che c'è un iso in $\textbf{sSet}$: $N(C) \cong N(C^{op})$
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Re: Lo spazio classificante di $\mathcal C^\text{op}$

Messaggioda maurer il mar 3 nov 2015, 18:22

Lana ha scritto:Mi pare non sia arduo dimostrare che c'è un iso in $\textbf{sSet}$: $N(C) \cong N(C^{op})$

No, questo è falso. Perché il funtore nervo $N : \mathrm{Cat} \to \mathrm{sSet}$ è pienamente fedele.
Quindi otterresti un isomorfismo $C \simeq C^{\mathrm{op}}$ per ogni categoria $C$, il che è evidentemente falso.
Per esempio, prendi $C = \{ a \to b \leftarrow c \}$. Questa categoria ha un oggetto finale che non è iniziale e quindi non è isomorfa alla sua categoria opposta.

Quello che è vero è che i gruppoidi universali di $N(C)$ e $N(C^{\mathrm{op}})$ sono equivalenti. Ossia i loro rimpiazzamenti fibranti di Kan sono isomorfi.
Un altro modo di dirlo è che $N(C)[C^{-1}] \simeq N(C^{\mathrm{op}})[C^{-1}]$, dove la localizzazione è intesa in senso $\infty$-categorico (e si tratta della localizzazione a tutte le frecce).
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Re: Lo spazio classificante di $\mathcal C^\text{op}$

Messaggioda Lana il mar 3 nov 2015, 18:25

LOL vero, avevo sparato totalmente a caso e ho pure visto cosa non torna
Sorry :redface:
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Re: Lo spazio classificante di $\mathcal C^\text{op}$

Messaggioda killing_buddha il mar 3 nov 2015, 21:44

Lana ha scritto:Mi pare non sia arduo dimostrare che c'è un iso in $\textbf{sSet}$: $N(C) \cong N(C^{op})$

Come ti hanno fatto notare questo e' falso, ma e' quasi vero: c'e' un'equivalenza debole in Kan-Quillen tra i due. E il nervo della categoria opposta e' semplicemente quello che ottieni rovesciando l'ordine di facce e degenerazioni in $N\cal C$.

PS: Si fa con le cofini, ovviamente. :bye:
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Re: Lo spazio classificante di $\mathcal C^\text{op}$

Messaggioda maurer il mer 4 nov 2015, 6:59

Mmmh, io lo farei così. Consideriamo l'inclusione $j : \mathrm{Gpd}_\infty \to \mathrm{Cat}_\infty$.
Sappiamo che la struttura modello di Kan è una localizzazione di Bousfield sinistra della struttura modello di Joyal. In altre parole $j$ ha un aggiunto sinistro, che denoterò $\mathrm{Env}$ ("the enveloping groupoid"). A livello di categorie modello, $\mathrm{Env}$ è il funtore derivato sinistro dell'identità, che può essere pensato come un rimpiazzamento fibrante per la struttura modello di Kan. Quindi se vi dimostro che $\mathrm{Env}(\mathcal C) \simeq \mathrm{Env}(\mathcal C^{\mathrm{op}}$ in $\mathrm{Gpd}_\infty$ per ogni $\infty$-categoria $\mathcal C$, ho risolto l'esercizio.

Sappiamo pure che $\Delta^n$ genera $\mathrm{Cat}_\infty$ per colimiti. Quindi abbiamo
$$\mathrm{Env}(\mathcal C) \simeq \mathrm{Env}( \mathrm{colim} \Delta^n ) \simeq \mathrm{colim} \: \mathrm{Env}(\Delta^n) \simeq \mathrm{colim} \: \mathrm{Env}((\Delta^n)^{\mathrm{op}}) \simeq \mathrm{Env}(\mathcal C^{\mathrm{op}}) .$$dove l'isomorfismo $\mathrm{Env}(\Delta^n) \simeq \mathrm{Env}((\Delta^n)^{\mathrm{op}})$ (naturale in $n \in \mathbf \Delta$) può essere stabilito sia in maniera combinatoria sia appellandosi all'evidenza geometrica.
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