Due limiti induttivi di gruppi topologici

Geometria euclidea, cartesiana, algebrica, differenziale e topologia

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Due limiti induttivi di gruppi topologici

Messaggioda killing_buddha il ven 20 apr 2012, 12:53

Credo sia ben noto che

    \displaystyle \varinjlim_{n\in \mathbb N} SO(n,\mathbb R)\cong SO(\infty,\mathbb R) :=\bigcup_{n\in \mathbb N} SO(n,\mathbb R)
come gruppi topologici, se le mappe di inclusione SO(n)\hookrightarrow SO(n+1) sono quelle "canoniche" che mandano A\mapsto \begin{pmatrix}1&\\&A\end{pmatrix}, per ogni n\ge 1. La ragione intuitiva e' che tutte le inclusioni sono innestate, quindi la relazione per cui quozientare il coprodotto di tutti gli SO(n) diventa banale. Ma non vi nascondo che se qualcuno avra' la pazienza di scrivere un ragionamento privo di buchi gliene saro' grato.

Ora, la mia domanda e', in questo stesso spirito [1], cos'e'

    \displaystyle \varinjlim_{(p,q)\in \mathbb N\times \mathbb N} SO(p,q|\mathbb R)?
(SO(p,q) e' il gruppo ortogonale speciale rispetto alla metrica di segnatura mista p,q; l'ordine sul prodotto \mathbb N\times \mathbb N e' quello -non totale- per cui (a,b)\le (c,d)\iff a\le c, b\le d).

[1] Non ho specificato in che modo SO(p,q)\hookrightarrow SO(p',q'): c'e' un solo modo di farlo, credo, ovvero A\mapsto \mathbb{I}_{p'-p}\oplus A\oplus (-\mathbb{I}_{q'-q}).
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Messaggioda killing_buddha il sab 17 nov 2012, 2:12

Up? Mi interessava e mi interessa tuttora.
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Messaggioda j18eos il dom 2 dic 2012, 18:35

Due domande:

1) come ti scrissi in una e-mail, ho da poco iniziato a conoscere la teoria delle categorie quindi: il primo limite (che non conoscevo) in che categoria "è calcolato"?

2) per metrica a segnatura mista (p;q) intendi la metrica \|(x_1;\hdots;x_p;y_1;\hdots;y_q)\|^2_{p;q}=x_1^2+\hdots+x_p^2-y_1^2-\hdots-y_q^2 su \mathbb{R}^{p+q}?
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Messaggioda killing_buddha il dom 2 dic 2012, 22:35

2) sì.

1) inizialmente, negli spazi topologici. Però poi uno si accorge che l'insieme unione di tutti gli SO è un gruppo topologico, basta dire che l'operazione la fai nel più grosso tra i due gruppi che contengono gli operandi. Nei salotti bene si dice che Grp(Top) ammette (perlomeno questi) (co)limiti filtranti. :mrgreen:
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Messaggioda j18eos il gio 7 feb 2013, 21:23

Se ti accontenti di un riferimento bibliografico, dato che mi scoccia scrivero un papello, penso che il concetto di limite (induttivo e filtrante) sia descritto a dovere nei primi 2 capitoli del libro di Lafon - Les Formalismes Fondamentaux de l'Algébre Commutative; letto ciò non vale la pena di scrivere un papello sulla introduzione di SO(\infty;\mathbb{R}).

Sulla seconda domanda, ci penserò a tempo opportuno. ;)
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Messaggioda killing_buddha il ven 8 feb 2013, 1:52

Dato che il problema mi interessa abbastanza, e che il punto non credo sia definire il concetto di limite, ma calcolarne uno, potresti essere piu' preciso? :mrgreen: Il libro che dici non riesco a ripescarlo su libgen, me lo fai avere tu?
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Messaggioda j18eos il lun 6 gen 2014, 18:30

Dato che oggi non ho nulla da fare, vedo un pò di calcolare quel limite filtrante diretto!

Inizio nella categoria \displaymathstyle\mathbf{Set}: cos'è il limite \displaystyle\lim_{\xrightarrow[n\in\mathbb{N}]}\displaymathstyle SO(n;\mathbb{R}) di insiemi, ove i morfismi sono le applicazioni (iniettive) indicate da kb nell'op?
Possiamo porre:
\[
L=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}SO(n;\mathbb{R})
\]
e notiamo banalmente che esistono le applicazioni di inclusione degli \displaymathstyle SO(n;\mathbb{R}) in \displaymathstyle L; però con tali applicazioni il seguente diagramma non è commutativo:
\forall n\leq m\in\mathbb{N},\xymatrix{
SO(n;\mathbb{R})\ar[dd]\ar[dr] & \\
 & L\\
SO(m;\mathbb{R})\ar[ur]&
}
Per rimediare a ciò, conviene definire una relazione di equivalenza sull'insieme \displaymathstyle L: prese \displaymathstyle A\in SO(n;\mathbb{R}) e \displaymathstyle B\in SO(m ;\mathbb{R}) con \displaymathstyle n\leq m\in\mathbb{N} pongo:
\[
A\sim B\iff B=\pmatrix{
1 & 0 & \dots & \dots\\
0 & 1 & 0 & \dots\\
\vdots & \dots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & 0 & A
}=i_{n;m}(A)
\]
ove \displaymathstyle i_{n;m}:SO(n;\mathbb{R})\hookrightarrow SO(m;\mathbb{R}) è l'inclusione; a questo punto, ponendo:
\[
SO(\infty;\mathbb{R})=L_{\displaystyle{/\sim}}
\]
e considerando le proiezioni canoniche \displaymathstyle\pi_n degli \displaymathstyle SO(n;\mathbb{R}) su \displaymathstyle SO(\infty;\mathbb{R}) si ha che il seguente diagramma è commutativo:
\forall n\leq m\in\mathbb{N},
\xymatrix{
SO(n;\mathbb{R})\ar[dd]_{i_{n;m}}\ar[dr]^{\pi_n} & \\
& SO(\infty;\mathbb{R})\\
SO(m;\mathbb{R})\ar[ur]_{\pi_m} &
}
... e mi scoccio di dimostrare che vale la proprietà universale!

kb fin qui sei soddisfatto? Posso passare a \displaymathstyle\mathbf{Top}?

UPDATE: Invece per passare a \displaymathstyle\mathbf{Top} devo esplicitare la dimostrazione della proprietà universale di \displaymathstyle SO(\infty;\mathbb{R}), così mi trovo una parte del lavoro fatta!

Sia \displaymathstyle\Lambda un altro insieme tale che il seguente diagramma sia commutativo:
\forall n\leq n\in\mathbb{N},\xymatrix{
SO(n;\mathbb{R})\ar[dd]_{i_{n;m}}\ar[dr]_{\pi_n}\ar[drr]^{\lambda_n} & & \\
 & SO(\infty;\mathbb{R})\ar@{.>}[r] & \Lambda\\
SO(m; \mathbb{R})\ar[ur]^{\pi_m}\ar[urr]_{\lambda_m} & &
}
sia \displaymathstyle A\in SO(\infty;\mathbb{R}) allora:
\[
\exists n\in\mathbb{N};\overline{A}\in SO(n;\mathbb{R})\mid A=\pi_n\left(\overline{A}\right)
\]
e pongo \displaymathstyle\lambda(A)=\lambda_n\left(\overline{A}\right); se:
\[
\exists n\leq m\in\mathbb{N};\overline{B}\in SO(m;\mathbb{R})\mid A=\pi_m\left(\overline{B}\right)\iff\overline{A}\sim\overline{B}\iff\overline{B}=i_{n;m}\left(\overline{A}\right)\Rightarrow\lambda_m\left(\overline{B}\right)=\lambda_m\left(i_{n;m}\left(\overline{A}\right)\right)=\lambda_n\left(\overline{A}\right)=\lambda(A)
\]
ovvero \displaymathstyle\lambda:SO(\infty;\mathbb{R})\to\Lambda è un'applicazione ben definita, e che chiude commutativamente il precedente diagramma.
Per costruzione, \displaymathstyle\lambda è l'unica applicazione che chiuda commutativamente il precedente diagramma; per definizione \displaymathstyle SO(\infty;\mathbb{R}) è il limite induttivo filtrante del dato sistema diretto di insiemi!
Ultima modifica di j18eos il mar 7 gen 2014, 9:54, modificato 1 volta in totale.
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Re:

Messaggioda killing_buddha il lun 6 gen 2014, 20:37

j18eos ha scritto:kb fin qui sei soddisfatto? Posso passare a \displaymathstyle\mathbf{Top}?

Sono soddisfatto ma quella è la parte che avevo dato per buona.

In effetti, hai quasi finito se mostri che il supporto del limite fatto in $\bf Grp$ ha una struttura di gruppo; se non ricordo male questo è conseguenza del fatto che il funtore $U\colon \bf Grp\to Set$ che dimentica la struttura crea (almeno) i colimiti (che servono qui). Farlo è piuttosto facile; anche fare il conto che chiedo, probabilmente, lo è; d'altra parte se ti offri volontario di farlo tu non te lo impedisco :P Anche perché a voler davvero fare il pelo alle cose, sui gruppi c'è una topologia: è la topologia data dal dover rendere continui tutti gli embedding nel colimite, e credo che sia la topologia che uno si aspetta. D'altra parte non ho controllato.
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Messaggioda j18eos il mar 7 gen 2014, 16:16

Rispondo alle tue due notazioni:

1) tu nell'op hai indicato che il sostegno del gruppo limite è l'unione dei gruppi in questione, e non il medesimo insieme quozientato rispetto a una opportuna relazione di equivalenza; :)

2) utilizzando il funtore dimenticante o distratto o unforgetfull \displaymathstyle U, con quanto esplicitato da me, possiamo solo affermare che il gruppo limite (se esiste) ha per sostegno l'insieme determinato; ma non si conosce esplicitamente l'operazione interna, la topologia opportuna e se effettivamente si tratta di un gruppo topologico (lo dico come un esploratore in missione) ;)
Oppure, come si suol dire \displaymathstyle U è un funtore che crea i limiti? :?:

Arriviamo nella categoria \displaymathstyle\mathbf{Top}; come scritto da te e senza cambiare i nomi: la topologia su \displaymathstyle SO(\infty;\mathbb{R}) è la più fine che rende continue le applicazioni \displaymathstyle\pi_n (topologia debole generata dalle \displaymathstyle\pi_n).
Scelto uno spazio topologico \displaymathstyle\Lambda che si comporta bene in quel diagramma, non resta da dimostrare che l'applicazione \displaymathstyle\lambda è continua!
Questo è un semplice esercizietto: sia \displaymathstyle A\subseteq\Lambda un insieme aperto, allora:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,\lambda_n^{-1}(A)=\pi_n^{-1}(\lambda^{-1}(A))\,\text{è aperto, allora per la topologia scelta su}\,SO(\infty;\mathbb{R}),\,\lambda^{-1}(A)\,\text{è aperto}
\]
perciò \displaymathstyle\lambda è un'applicazione continua ed \displaymathstyle SO(\infty;\mathbb{R}) è il limite ricercato in \displaymathstyle\mathbf{Top}.
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Messaggioda j18eos il mer 8 gen 2014, 16:22

Mi rispondo da solo alla domanda sulla creazione dei limiti da parte del funtore \displaymathstyle U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}; se la risposta fosse sì, allora \displaymathstyle SO(\infty;\mathbb{R}) è il gruppo ricercato. Però comunque non si conoscerebbe esplicitamente l'operazione interna, e tanto più non si saprebbe se fosse un gruppo topologico! :)

Ora passo alla categoria \displaymathstyle\mathbf{Grp}, ovvero esplicito l'operazione interna a \displaymathstyle SO(\infty;\mathbb{R})!
Per comodità di notazione, siano \displaymathstyle[A];[B]\in SO(\infty;\mathbb{R}) allora:
\[
\exists n;m\in\mathbb{N};A\in SO(n;\mathbb{R});B\in SO(m;\mathbb{R})\mid\pi_n(A)=[A];\pi_m(B)=[B];
\]
sempre per comodità sia al solito \displaymathstyle n\leq m allora:
\[
[A]=\pi_n(A)=\pi_m(i_{n;m}(A))
\]
e pongo:
\[
\pi_m(i_{n;m}(A))\cdot\pi_m(B)=[A]\cdot[B]=[i_{n;m}(A)\cdot B]=\pi_m(i_{n:m}(A)\cdot B)!
\]
Con la solita ipotesi che \displaymathstyle\{SO(n;\mathbb{R});i_{n;m}\}_{n\leq m\in\mathbb{N}} è un sistema diretto filtrante di gruppi, si dimostra che \displaymathstyle[A]\cdot[B] è un elemento ben definito di \displaymathstyle SO(\infty;\mathbb{R}); in conseguenza resta dimostrato che:
  1. \displaymathstyle(SO(\infty;\mathbb{R}),\cdot) è un gruppo;
  2. le applicazioni \displaymathstyle\pi_n sono morfismi di gruppi!
Resta da dimostrare che \displaymathstyle SO(\infty;\mathbb{R}) è il limite diretto in \displaymathstyle\mathbf{Grp}; euristicamente, fatto ciò resterebbe solo da dimostrare che \displaymathstyle SO(\infty;\mathbb{R}) è un gruppo topologico rispetto alla topologia descritta nel mio precedente post!
Il claim consiste nel dimostrare che per ogni gruppo \displaymathstyle\Lambda che fa divenire un cono il dato sistema diretto filtrante di gruppi risulta che la solita applicazione \displaymathstyle\lambda:SO(\infty;\mathbb{R})\to\Lambda è un omomorfismo di gruppi; ma questo è immediata conseguenza della costruita operazione interna ad \displaymathstyle SO(\infty;\mathbb{R}) e della definizione stessa di \displaymathstyle\lambda.
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