chiarimento impostazione assiomatica Hilbert

Geometria euclidea, cartesiana, algebrica, differenziale e topologia

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chiarimento impostazione assiomatica Hilbert

Messaggioda cianfa72 il gio 8 feb 2018, 9:47

ciao a tutti,

leggendo il lavoro di Hilbert "The Foundations of Geometry" c'è un aspetto su cui chiedo gentilmente chiarimenti.

Si parte da 3 "sistemi distinti di cose" dove le "cose" che li compongono sono denominate rispettivamente punti, rette e piani (non viene data definizione degli enti primitivi come del resto delle relazioni primitive "appartiene a", "compreso tra", ecc). Tanto per esemplificare un modello possiamo pensare a 3 sistemi distinti di oggetti: palline rosse (sistema di punti), cubi gialli (sistema di rette) e piramidi verdi (sistema di piani).

Ora i vari gruppi di assiomi (per es di incidenza) stabiliscono le "connessioni" esistenti tra tali "cose" ovvero nel modello tra palline rosse, cubi gialli e piramidi verdi.

Se ora consideriamo gli enti non primitivi nella loro "definizione nominale" si fa necessariamente riferimento a quelli primitivi (per evitare alla fine dipendenze circolari). Cito per es la definzione di circonferenza:
se M è un arbitrario punto del piano a, la totalità di tutti i punti A, tali che i segmenti MA sono tra loro tutti congruenti, è chiamata circonferenza

Se capisco bene la circonferenza "nasce" come insieme di punti (insieme di palline rosse) con determinate proprietà e non quindi come un nuovo tipo di oggetto (per es un nuovo oggetto "cilindro blu") i cui punti associati (palline rosse) hanno certe proprietà....è corretto ?

Spero di essermi spiegato...grazie in anticipo a chi vorrà rispondermi :)
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Re: chiarimento impostazione assiomatica Hilbert

Messaggioda Feanor il gio 8 feb 2018, 11:24

Dipende. Puoi pensarlo come un nuovo tipo, se preferisci, che è in stretta relazione con le palline rosse. E' il tipo di certe palline rosse.

Più in generale, seguendo quella impostazione, si può considerare una teoria dei tipi come il dato di certi oggetti primitivi, i tipi e le variabili o elementi di un tipo, e certi simboli funzionali e relazionali; questi sono soggetti a certe regole che permettono di manipolare gli oggetti in molti modi.
Puoi pensare al sistema formale come un gioco, dove gli oggetti primitivi sono i pezzi, le componenti, e le regole descrivono il funzionamento dei pezzi e del gioco stesso. Sovente è indispensabile avere una regola che permette di generale o definire un tipo le cui variabili siano gli elementi di un altro tipo che soddisfano una certa proprietà. Nel caso della circonferenza, si sta cercando di definire un insieme/tipo caratterizzato della variabili di tipo punto che hanno la proprietà di essere equidistanti da un certo punto fissato. A priori, cioè senza una regola che ne assicuri l'esistenza, questo non è un oggetto del sistema, della teoria. Qui Hilbert sta assumendo che lo sia (anche nel caso degenere per cui la circonferenza sia l'insieme vuoto).

Il punto delicato è che quando affermi che la circonferenza "nasce" come insieme di punti, stai pensando alla totalità di punti come ad un insieme di elementi che caratterizzano il sistema di tipo punto. La logica ed i fondamenti della matematica sono una disciplina molto ricca e ci sono almeno un dozzina di modi e metodi e varianti differenti per formalizzare e chiarire ambiguità come questa.
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Re: chiarimento impostazione assiomatica Hilbert

Messaggioda cianfa72 il sab 10 feb 2018, 17:12

Feanor ha scritto:Più in generale, seguendo quella impostazione, si può considerare una teoria dei tipi come il dato di certi oggetti primitivi, i tipi e le variabili o elementi di un tipo, e certi simboli funzionali e relazionali; questi sono soggetti a certe regole che permettono di manipolare gli oggetti in molti modi.
nel caso della geometria che stiamo considerando, gli enti primitivi sono il tipo punto e le variabili (o elementi o istanze) di tipo punto, il tipo retta e le variabili (o elementi o istanze) di tipo retta, il tipo piano e le variabili (o elementi o istanze) di tipo piano inclusi certi simboli funzionali e relazionali, corretto ?

Feanor ha scritto:Nel caso della circonferenza, si sta cercando di definire un insieme/tipo caratterizzato della variabili di tipo punto che hanno la proprietà di essere equidistanti da un certo punto fissato.
qui la circonferenza "nasce" come un nuovo tipo caratterizzato dalle variabili (o elementi/istanze) di tipo punto che hanno determinate proprietà (da notare che il tipo circonferenenza è caratterizzato da e non costituito da); in ogni caso anche per il tipo circonferenza esistono variabili/elementi/istanze (una "specifica" circonferenza).

Feanor ha scritto:Il punto delicato è che quando affermi che la circonferenza "nasce" come insieme di punti, stai pensando alla totalità di punti come ad un insieme di elementi che caratterizzano il sistema di tipo punto.
non sono sicuro di aver capito bene cosa intendi in questo passaggio... :unsure:

Premetto che non sono un addetto ai lavori, ma come commento generale l'impostazione geometrica attraverso la teoria dei tipi mi ricorda i concetti di tipizzazione ampiamente utilizzati nell'ambito dei linguaggi di programmazione orientati agli oggetti... :rolleyes:
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Re: chiarimento impostazione assiomatica Hilbert

Messaggioda cianfa72 il mer 14 feb 2018, 19:52

Help r :!:
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Re: chiarimento impostazione assiomatica Hilbert

Messaggioda Feanor il mar 20 feb 2018, 14:13

cianfa72 ha scritto:Nel caso della geometria che stiamo considerando, gli enti primitivi sono il tipo punto e le variabili (o elementi o istanze) di tipo punto, il tipo retta e le variabili (o elementi o istanze) di tipo retta, il tipo piano e le variabili (o elementi o istanze) di tipo piano inclusi certi simboli funzionali e relazionali, corretto ?

Sì, esatto.

cianfa72 ha scritto:Qui la circonferenza "nasce" come un nuovo tipo caratterizzato dalle variabili (o elementi/istanze) di tipo punto che hanno determinate proprietà (da notare che il tipo circonferenenza è caratterizzato da e non costituito da); in ogni caso anche per il tipo circonferenza esistono variabili/elementi/istanze (una "specifica" circonferenza).

Bisgnerebbe descrivere con precisione qual è la differenza tra "essere costituito da" ed "essere caratterizzato da". Potrebbero essere sinonimi in questo caso, se le variabili del tipo circonferenza di centro M e raggio AM sono esattamente le variabili di tipo punto che distano AM dal punto M.

cianfa72 ha scritto:Premetto che non sono un addetto ai lavori, ma come commento generale l'impostazione geometrica attraverso la teoria dei tipi mi ricorda i concetti di tipizzazione ampiamente utilizzati nell'ambito dei linguaggi di programmazione orientati agli oggetti... :rolleyes:

Più linguaggi di programmazione funzionale, ma l'idea è grossomodo quella.
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Re: chiarimento impostazione assiomatica Hilbert

Messaggioda cianfa72 il mer 21 feb 2018, 13:22

Feanor ha scritto:Bisgnerebbe descrivere con precisione qual è la differenza tra "essere costituito da" ed "essere caratterizzato da". Potrebbero essere sinonimi in questo caso, se le variabili del tipo circonferenza di centro M e raggio AM sono esattamente le variabili di tipo punto che distano AM dal punto M.

Da un punto di vista logico intendevo dire con "essere caratterizzato da" che una variabile (istanza) di tipo circonferenza di centro M e raggio AM di fatto è un "raggruppamento logico" di variabili di tipo punto che distano AM dal punto M.
Tornando all'esempio dei linguaggi di programmazione orientati agli oggetti è l'analogo di un'istanza della classe "circonferenza" che ha una proprietà (variabile) di tipo vettore di elementi di tipo punto (gli elementi cioè del vettore sono istanze di tipo punto che distano AM dal punto M).

Potrebbe aver senso ? grazie :unsure:
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Re: chiarimento impostazione assiomatica Hilbert

Messaggioda Feanor il mer 21 feb 2018, 15:00

Sì, detto altrimenti essere una circonferenza è una proprietà di un sottoinsieme di punti del piano e non è una struttura aggiuntiva. Ci sono molti modi di formalizzare accuratamente questo. In seno alla teoria assiomatica classica della teoria degli assiomi, lo si fa grazie allo schema di asiomi di separazione (click).
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