L'azione di un sottogruppo discreto è propriamente discontinua

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L'azione di un sottogruppo discreto è propriamente discontinua

Messaggioda Nihilus il gio 4 giu 2015, 13:33

Sia $H \leq G$ un sottogruppo discreto di un gruppo topologico che agisce su $G$ per moltiplicazione a sinistra. Dimostrare che l'azione è propriamente discontinua, i.e. per ogni $g \in G$ esiste un intorno $U_g$ di $g$ tale che per ogni $h \neq h' \in H$ si abbia $hU_g \cap h'U_g = \emptyset$.
Cadi e non c'è nulla cui aggrapparti; cadi e la libertà è non trattenersi. Che perfezione...
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Re: L'azione di un sottogruppo discreto è propriamente discontinua

Messaggioda killing_buddha il gio 27 lug 2017, 1:27

Mi ero dimenticato esistesse questo problema! Dico qualcosa senza finire.

Mi sembra chiaro che basti verificarlo per $g=1$, dato che gli intorni di $1$ corrispondono agli intorni di $g$ traslando per $g$. Allora basta mostrare che esiste sempre un intorno dell'identità di $G$ abbastanza piccolo per cui $U\cap kU$ è vuoto per $k\neq 1$ (altra semplificazione della tesi che mi sembra equivalente alla tua richiesta: se la riscrivi come $U\cap h^{-1}h'U=\varnothing$, è evidente che ogni elemento $w$ di $H$ è della forma $h^{-1}h'$ per certi -sebbene non unici- $h,h'$, e che $h=h'$ iff $w=1$).

E' sufficiente allora trovare un intorno di $1$ tale che $H\cap U$ sia ridotto a $\{1\}$.
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