Omologia di un insieme simpliciale

Geometria euclidea, cartesiana, algebrica, differenziale e topologia

Moderatore: Moderatori

Omologia di un insieme simpliciale

Messaggioda Feanor il mer 4 gen 2017, 13:36

1. Sia $\Delta$ la categoria dei simplessi, perciò la categoria dove gli oggetti sono ordinali finiti non vuoti, denotati come $\Delta_m = \{0, 1, \dots, m-1\}$ per $m$ in $\mathbb N$, e le frecce sono le applicazioni crescenti (non-decreasing maps). Denoto con $\widehat \Delta$ la categoria degli insiemi simpliciali, cioè dei prefasci su $\Delta$ a valore negli insiemi.

2. Sia $\mathrm{Top}$ la categoria degli spazi topologici ed applicazioni continue. Esiste un'aggiunzione $|\,\cdot\,|\colon \widehat \Delta \to \mathrm{Top}$, $\mathrm{Sing} \colon \mathrm{Top} \to \widehat\Delta$, dove $|\,\cdot\,|$ è l'aggiunto sinistro che può essere introdotto come estensione di Kan del funtore simplesso topologico $\Delta \to \mathrm{Top}$ standard.

3. Ad ogni insieme simpliciale $X$, vengono associati i complessi di catene aumentati $C X$ e $cX$ dove per ogni $n$ in $\mathbb N$, $(CX)_n$ è il gruppo abeliano libero generato dall'insieme $X_n$ (risp. $(cX)_n$ è il gruppo abeliano libero generato dall'insieme $X_n^{\text{ndeg}}$ degli $n$-simplessi non-degeri di $X$), mentre il differenziale $d_n \colon (C X)_n \to (CX)_{n-1}$ è l'applicazione $\mathbb Z$-lineare definita su $x$ in $X_n$ (risp. su $x$ in $X_n^{\text{ndeg}}$) come
$$d_n(x) = \sum_{0\leqslant i\leqslant n} (-1)^id^i_n(x) .$$
L'aumentazione $e\colon (CX)_0 \to \mathbb Z$ è l'applicazione $\mathbb Z$-lineare definita da $e(x)=1$ per ogni $x$ in $X_0$ (si noti che tutti gli 0-simplessi sono non-degeneri).

Vi invito a mostrare i fatti seguenti.

Proposizione. Per ogni insieme simpliciale $X$ esiste un morfismo canonico di confronto $CX \to C(\mathrm{Sing}|X|)$ di complessi di catene aumentati che è un quasi-isomorfismo, cioè induce isomorfismi in omologia ad ogni livello.

Bonus. Cosa si può dire sui morfismi canonici $cX \to CX$ e $cX \to c(\mathrm{Sing}|X|)$?
Feanor
 
Messaggi: 738
Iscritto il: lun 29 set 2008, 20:58

Torna a Geometria

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite

cron