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Seq. estremali in $\mathbb Z_{p^n}$ che non contengono sottoseq. a somma zero di lunghezza $p^n$

MessaggioInviato: mar 15 mar 2016, 16:48
da salvo.tringali
Siano $p$ un numero primo ed $n \ge 1$ un intero. Quindi sia $\mathfrak s = (a_1, \ldots, a_{2p^n - 2})$ una sequenza di $2p^n-2$ elementi del gruppo additivo, $\mathbb Z_{p^n} = (\mathbf Z/p^n \mathbf Z, +)$, dell'anello degli interi mod $p^n$ tali che la somma dei termini di una qualsiasi sottosequenza di $\mathfrak s$ di lunghezza $p^n$ sia $\ne 0$. Provate che, a meno di una permutazione dell'insieme $\{1, \ldots, 2p^n - 2\}$, esistono $a, g \in \mathbf Z/p^n \mathbf Z$ tali che $g$ รจ un generatore di $\mathbb Z_{p^n}$ e $a_i - a = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{se }1 \le i < p^n \\ g & \text{se } p^n \le i \le 2p^n - 2 \end{array}\right.$.