$\sum_{i=1}^n \binom{n}{i}(-1)^{n-i}i^k =0$ per $n\geq k+1$

Problemi enumerativi, teoria dei grafi ...

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$\sum_{i=1}^n \binom{n}{i}(-1)^{n-i}i^k =0$ per $n\geq k+1$

Messaggioda vegan il sab 26 set 2015, 11:35

Scusate, ma non ricordo più come si dimostra che
$$
\sum_{i=1}^n \binom{n}{i}(-1)^{n-i}i^k =0,\qquad\text{per ogni}\quad n\geq k+1.
$$ La verifica per $k=1,2,3,..$ e $n$ piccolo è immediata, ma non ricordo proprio più come verificarlo in generale.
Se è già stato fatto su queste pagine, vi sarei grato di essere indirizzato e di eliminare questa richiesta. In ogni caso, grazie a chi mi ricorda come si fà.
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Messaggioda salvo.tringali il sab 26 set 2015, 11:47

È un risultato classico del calcolo operatoriale finito (viz., la formalizzazione di Rota del calcolo umbrale di Blissard), ed è, di fatto, un'istanza particolare di qualcosa di più generale inerente gli operatori delta e la derivata di Pincherle.

P.S.: ho editato il titolo del thread (era "ho perso la memoria..."), perché ne riflettesse meglio il contenuto.
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Re: $\sum_{i=1}^n \binom{n}{i}(-1)^{n-i}i^k =0$ per $n\geq k+1$

Messaggioda vegan il lun 28 set 2015, 7:37

Chiedo scusa era proprio una mancanza di memoria e forse era meglio scrivere
$\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-1)^{n-i}i^k $, che non cambia niente, ma dice subito che la somma \`e nulla per $k=0$ e per ogni $n\geq1$ , essendo uguale a $(1-1)^n$. Da questo si fa induzione su $k$, ricordando che $\binom{n}{i}i=n\binom{n-1}{i-1}$, e quindi
\begin{multline*}
\sum_{i=1}^n \binom{n}{i}(-1)^{n-i}i^k = n\sum_{i=1}^n \binom{n-1}{i-1}(-1)^{n-i}i^{k-1} = \\
= n\sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j}(-1)^{n-1-j}(j+1)^\ell =
n\sum_{\ell=0}^{k-1} \binom{k-1}{\ell}\left[\sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j}(-1)^{n-1-j}j^\ell\right]
\end{multline*}
e le somme tra parentesi quadre sono tutte nulle per ipotesi induttiva.

A questo punto, ho un altro vuoto di memoria sul fatto che $\displaystyle\sum_{j=1}^k \sum_{i=0}^j \binom{j}{i}\frac{(-1)^{i+1}i^h}{j} $ è uguale a $1$ per $h=1$ mentre è uguale a $0$ se $h\in\{0,2,3,\dots,k\}$.
Il fatto discende facilmente da quanto sopra, per $h=0,1$, ma faccio fatica a vederlo per gli altri valori di $h$.
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