Numero di soluzioni di $f(x_1) + \cdots + f(x_k) \equiv f(x_{k+1}) + \cdots + f(x_{2k}) +a \bmod p$

Problemi enumerativi, teoria dei grafi ...

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Numero di soluzioni di $f(x_1) + \cdots + f(x_k) \equiv f(x_{k+1}) + \cdots + f(x_{2k}) +a \bmod p$

Messaggioda fry il gio 2 apr 2015, 18:42

Fissati $X \subseteq \mathbb{Z}$ e $f : X \to \mathbb{Z}$, per ogni $k\geq 1$ e $a$ interi sia $N_k(a)$ il numero di soluzioni $(x_1, \ldots, x_{2k}) \in X^{2k}$ dell'equazione
$$f(x_1) + \cdots + f(x_k) \equiv f(x_{k+1}) + \cdots + f(x_{2k}) + a \bmod p .$$Dimostrare che $N_k(a) \leq N_k(0)$.

Nota. Si tratta di un risultato folkloristico che tolto dal suo contesto dovrebbe essere piuttosto arduo da provare.
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