La folding function di un preset

Problemi enumerativi, teoria dei grafi ...

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La folding function di un preset

Messaggioda salvo.tringali il sab 8 nov 2014, 18:18

Sia $\mathcal I = (I, \le_I)$ un preset $\mho$-piccolo non vuoto, dove $\mho$ è un universo non vuoto, e sia $\aleph$ l'insieme dei cardinali $\mho$-piccoli. Indico con $\vartheta_\mathcal{I}$ la funzinoe $\aleph \to \aleph$ che mappa un cardinale $\lambda \in \aleph$ nel minimo dell'insieme dei cardinali $\mho$-piccoli, $\kappa$, per cui esiste almeno un protocollo $\mathcal P = (\le_I, \le_{\rm in}, \le_{\rm out})$ tale che l'insieme, $X$, dei siti di $\mathcal P$ abbia cardinalità $\kappa$ e l'insieme, $\mathscr{F}(\mathcal P)$, dei fold di $\mathcal P$ abbia cardinalità $\ge \lambda$ (non è difficile provare che $\vartheta_\mathcal{I}$ è ben definita, sapendo che l'insieme dei cardinali $\mho$-piccoli, con il loro ordine usuale, è ben ordinato). Chiamo $\vartheta_\mathcal{I}$ la folding function di $\mathcal I$. Naturalmente, $\vartheta_\mathcal{I}(0) = 0$.

Q. Calcolate $\vartheta_\mathcal{I}(1)$ nel caso in cui $\mathcal I$ sia (i) il preset descritto da un diagramma di Hasse con la stessa "struttura" di un triangolo di Pascal su $n$ righe, dove ogni nodo sulla riga $i$-esima, per $i = 1, \ldots, n-1$, è il target di un arco spiccato da entrambi i nodi della riga successiva immediatamente sottostanti e (ii) il preset duale del precedente.
"Che bella storia", disse l'Alchimista. | Whatever can be encoded by syntax shouldn't be left to semantics. | Homomorphisms are to algebraic structures as seminorms are to ordered structures.
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