Contare i $\mathcal P$-folding con indice caotico e input discreto

Problemi enumerativi, teoria dei grafi ...

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Contare i $\mathcal P$-folding con indice caotico e input discreto

Messaggioda salvo.tringali il ven 24 ott 2014, 12:34

Sia $\mathcal P = (\le_{\rm i}, \le_{\rm in}, \le_{\rm out})$ un protocollo $\mho$-piccolo, dove $\mho$ è un universo (v. qui per la terminologia non definita in questo post), e siano $I$ e $X$ i base set di $\le_{\rm i}$ e $\le_{\rm in}$, rispettivamente. Denoto con $\mathfrak{n}(\mathcal P)$ la cardinalità (relativa a $\mho$) dell'insieme, $\mathscr{F}(\mathcal P)$, dei $\mathcal P$-folding. Mostrate che se $\le_{\rm i}$ è il preordine caotico su $I$ e $\le_{\rm in}$ è l'ordine discreto su $X$, allora
$$
\mathfrak{n}(\mathcal P) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & \text{if }|X| < |I| \\
|X|^{|I|} & \text{if }X\text{ is infinite and }|I| \le |X| \\
\textstyle \prod_{i=1}^{|I|}(|X| - i + 1) & \text{otherwise}
\end{array}
\right..
$$ Infatti, nel caso specifico preso in esame, $\mathscr{P}(\mathcal P)$ non è nient'altro che l'insieme delle...?

Nota. Poiché mi è stato chiesto di chiarirlo, preciso che il preordine caotico su un insieme $S$ è la relazione binaria $\le_{\rm ch}$ su $S$ per cui $x \le_{\rm ch} y$ per ogni $x,y \in S$, mentre l'ordine discreto su $S$ è la relazione binaria $\le_{\rm di}$ su $S$ per cui $x \le_{\rm di} y$ sse $x = y$.
"Che bella storia", disse l'Alchimista. | Whatever can be encoded by syntax shouldn't be left to semantics. | Homomorphisms are to algebraic structures as seminorms are to ordered structures.
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