Triangoli con i lati di lunghezze [tex]1,2,\ldots,n[/tex]

Problemi enumerativi, teoria dei grafi ...

Moderatore: Moderatori

Triangoli con i lati di lunghezze [tex]1,2,\ldots,n[/tex]

Messaggioda fry il mer 13 feb 2013, 11:49

Si hanno a disposizione n segmenti di lunghezze 1,2,\ldots,n rispettivamente. In quanti modi si può costruire un triangolo usando tre di tali segmenti?
"Hey. They laughed at Louis Armstrong when he said he was gonna go to the moon. Now he's up there, laughing at them."
Avatar utente
Messaggi: 1122
Iscritto il: ven 20 giu 2008, 19:06

Re: Triangoli con i lati di lunghezze [tex]1,2,\ldots,n[/tex]

Messaggioda Gottinger95 il lun 21 lug 2014, 22:32

Assumo che i triangoli degeneri siano validi. Se non lo fossero, la dimostrazione rimarrebbe sostanzialmente invariata.
1. La condizione necessaria e sufficiente affinchè si possa costruire un triangolo di lati \(a > b > c\) è che \( a \le b+c\); le altre due disuguaglianze triangolari si possono facilmente derivare da questa.
2. Notiamo che deve valere \( a < 2b\), altrimenti si avrebbe \( a \ge 2b > b+c\) contro (1). Inoltre, fissati \(a,b\) "papabili", ossia tali che \(b < a < 2b\), di certo \(c\) deve appartenere all'intervallo \( [a-b, b[ \) (l'estremo sinistro per soddisfare (1), l'estremo destro per l'assunzione sull'ordine).
3. Poniamo per comodità \(s:= \left \lfloor (n+1)/2 \right \rfloor\). Dunque la quantità cercata è
\[ S_n = \sum_{b<a < 2b, \ \ a,b \le n} 2b-a = \sum_{b=1}^{n-1} \sum_{a=b+1}^{\min \{n,2b-1\} } 2b-a = \sum_{b=1}^{ s} \sum_{a=b+1}^{2b} 2b-a + \sum_{b=s+1}^{n-1} \sum_{a=b+1}^{n} 2b-a =\]
Notiamo che per \(n \ge 3\), per cui ha senso il testo, nessuna sommatoria è vuota.
4. Adesso sono solo contacci:
\[ S_n = \sum_{b=1}^{s} 2b^2 - \frac{2b (2b+1)}{2}+ \frac{b(b+1)}{2} + \sum_{b=s+1}^{n-1} 2b(n-b)- \frac{n(n+1)}{2} + \frac{b(b+1)}{2} =\]
Spezziamo le sommatorie in sommatorie semplici, ossia dove appaiono solo potenze di \(b\):
\[ \frac{1}{2} \left ( \sum_{b=1}^{ s} b^2 \right ) - \frac{1}{2} \left ( \sum_{b=1}^{ s}b\right ) + (2n+ 1/2 ) \left ( \sum_{b=s+1}^{n-1} b \right ) - \frac{3}{2} \left ( \sum_{b=s+1}^{n-1} b^2\right ) - \left ( n- s-1 \right ) n \frac{(n+1)}{2} = \]
\[ =\frac{ s ( s+1) ( 2 s+1)}{12} - \frac{ s (s+1) }{4} + \frac{4n+1}{2} \left ( \frac{(n-1)n}{2} - \frac{s(s+1)}{2} \right ) + \frac{3}{2} \left ( \frac{s(s+1)(2s+1)}{6} -\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \right ) + \frac{n (s+1-n)(n+1)}{2} = \]
\[ = \frac{5s^3}{12}- \frac{s^2}{2} (2n-1) + \frac{s}{6} (3n^2-3n-1) - \frac{3n^2}{4} \]
I più coraggiosi potranno, a onor dell'estetica, distinguere i casi \(n\) pari, dispari per trovare l'effettivo polinomio cubico che descrive la quantità richiesta (sempre a patto che, auspicabilmente, non abbia sbagliato i conti). Io, dovendo partire tra meno di cinque ore, non mi avventuro.
Nota 1. Anche senza conti, notando che \( \lim_{n \to \infty} \frac{s}{n/2} = 1 \), si può dedurre che
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{ \binom{n}{3} } = \frac{5}{16} \]
Ossia che la probabilità che, presa una terna, essia sia triangolare, è asintoticamente \(5/16\).
Nota 2. Propongo tre vie di generalizzazione:
a) Continuo. Stessa domanda, ma nell'intervallo dei reali \( ]0, n]\) invece che in quello dei naturali \( \{1, \ldots, n\}\);
b) Poligoni. Stessa domanda, ma con i poligoni invece che con i triangoli;
c) Funzioni. Invece di considerare \( \{1, \ldots, n\}\), consideriamo la sua immagine attraverso \(f\), i.e. \(\{f(1), \ldots, f(n)\}\). Credo che una \(f\) polinomiale, oppure della forma \( f(n) = \sqrt[n]{ \frac{ x_1^n + \ldots + x_k^n }{k} } \) per certi \( x_1, \ldots, x_k\) fissati.
L'approccio che ho seguito non mi piace molto, perchè non è simmetrico e non ci sono idee. Di fatto non può essere facilmente esteso a nessuno dei tre casi.
Volendo, le tre generalizzazioni possono coesistere.
Messaggi: 16
Iscritto il: lun 12 mag 2014, 21:32

pandora jewelry canada

Messaggioda MeganQuiller il gio 11 ott 2018, 4:18

ÿþAsia, other countries do not ever pandora bracelets play a world role had. Inferiority of women, cool and defended the political, this is actually a strange weird pairing Pandora Gold Charms-Gold Ale [134], and also grotesque in that strange, but more to obtain out the bumpy roads an entire countries, plus their own destiny properly the nation and then the struggle between hardships. Everybody is an epic; Myanmar's Aung San Suu Kyi can be the epic from the epic. There were elements that made Jordan this kind of indomitable brand. He established several trademarks, including changing the NBA's attire. Jordan ýÿ still enamored regarding his college basketball uniform ýÿ wore his Idaho University shorts and jersey under his Bulls uniform.

However,buy cheap pandora charms, there are actually alternatives of adopting the same Nike shoe at slashed down prices. The sneakers are the wholesale versions of our very own Nike shoes. Wholesale shoes are manufactured in countries like China and since the labor is affordable in that particular country the expense of production may also be substantially reduce. To acquire shoes completely bijoux pandora from these wholesale manufacturers is best way to acquire unbelievably low discounted rates in your favorite model of shoes. It is actually devoid of the middlemen such as retailers who extra rates towards the final item that include taxes and shipment rates. Choosing the ideal type of Christmas tree is critical because Christmas trees are usually a center point pandora princess ring for many family activities and traditions.

Considering the many types of Christmas trees widely available,pandora jewelry store locations, it is important to contemplate how the tree will be used. While a tall tree may look very elegant, may well be suitable if there are limited adults around that can reach the tree's heights. As well as a very short tree may be dwarfed by other furniture area. It's therefore vital to carefully consider to get a tree that features a suitable height and even one that has sturdy branches to maintain heavy ornaments. Cheap and stylish beaded jewellery is in reality a enormous pattern among children nowadays. The rise in recognition for beaded and city jewelry may be the pandora charm reduced price from the jewelry along with the range of designs available.

It is one of the best ways Actually, i know to discover new and interesting musicians. Even people I've met who don't like gospel music enjoy Pandora. When it is popular music from the last sixty years and maybe, you stand a pretty good chance of being in position to find it on Pandora. To conclude, runescape money is the virtual currency available in the implicit runescape economy and, thus,pandora jewelry charms, over a runescape servers. That amount of money is controlled among the continuous change. Becoming acquainted with how the general economy changes can boost your money-making strategies. About the final purpose? Good runescape money and everyone playing Lineage 2 ?

Generally, this promise is taken with a spiritual context. Good marriages are definitely not hard work. plus flow quite smoothly. Its bad marriages that are classified as a lot of labor. Good marriages become bad marriages when mistakes are made that ruin the romantic love spouses used to own for each other.Heroditus, the father of ancient history,charms for pandora bracelets cheap, recorded inside the mid-400's B.C.,pandora jewelry charms, that oak trees were reputed to own within their boughs, the gift of prophecy. The presence of oak tree galls in oak trees is due to the insect larvae that tunnel on the twigs. The oak tree branches can develop into infested with plenty little galls that appear to be like brown or tan balls,

The issuer sold jewelry parts and customised designs. These charms and pandora jewelry canada beads is often bought seperately from bracelet and necklace chains might be assembled by your consumer themselves in the event they wanted to. Alter their ways . could also select the cutomized jewelry that features already been assembled considering the parts they fancied if they ever wanted to. Unlike other general basketball shoes,disney charms for pandora bracelet, the Zoom Kobe 5 is a really low-cut ankle shoes. The Zoom Kobe 5 can supply for you a speedy movement and rapid running. Actually,it's one of the remarkable options Kobe shoes.Surprisingly,charm bracelet Immagine pandora,the extra weight of the shoe is extraordinary light.
Messaggi: 3
Iscritto il: gio 11 ott 2018, 4:04

puma rihanna

Messaggioda MeganQuiller il gio 11 ott 2018, 4:23

De Puma Suede Classic Eco puma sneakers is nu in gebruik bij Puma, inclusief Tokio. De klassieke schoen is milieubewust en wordt gemaakt van gerecyclede materialen. Vandaag kijken we naar een paar uit de herfstserie van Puma. Donkergroen bedekt het bovendeel, terwijl de schoenveters en het zijlogo geelbruin zijn. Verankering van de look is een beige zool, die die vintage look uitstraalt. Als je op zoek bent naar een paar, ga dan naar mita om het nu op te scheppen. Aan de oppervlakte zijn nu foto's van de Puma Suede Mid Washed Canvas Collection. Inbegrepen zijn drie versies van de high-top versie van de klassieke Puma Suede. Alle drie zijn voorzien van vervaagde ontwerpen samen met tonale leren accenten langs de veteroogjes en [gevoerde] enkelbinders. Ondertussen werden witte veters toegepast, met zwarte PUMA-branding op de kwartborden. Met een keuze uit hibiscus, groen of blauw, zal het pakket verkrijgbaar zijn bij geselecteerde Puma-winkels in het voorjaar van 2013.

Toen Puma de klassieke Puma Suede introduceerde in het Verenigd Koninkrijk, werd het de Puma-staat. Onlangs werd de schoen teruggebracht met een reeks beperkte releases en vandaag zien we het Puma Denim Pack, dat uit drie versies van de schoen bestaat. Met een keuze uit zwart, blauw of beige, gebruiken alle puma schoenen drie denim als primair materiaal, terwijl lederen details ook worden toegepast. De in Tokyo gevestigde mita zal de sneaker op zaterdag 13 oktober stockeren. Nu onderweg naar Puma-winkels, waaronder Shelta, zijn deze twee versies van de Puma Basket Mid. De klassieke high-tops zijn hier te zien, gebouwd van leer, terwijl je Gore-Tex speelt tijdens de komende wintermaanden. Er worden ook suede-aanrakingen aangebracht, die op de zijlogo's terechtkomen. De puma creeper eerste krijgt een donkergroene uitstraling, terwijl de tweede een subtiele zwarte look heeft. Andere kenmerken zijn onder andere D-ring veterogen en rubberen zolen. Welke van de twee heb je het liefst?

Voor het herfstseizoen heeft Puma de klassieke Puma Suede een versleten look gegeven om het dat oude skool gevoel te geven. Het bovenste deel van de schoen heeft een stoffig, donker denimblauw, shaggy suede ontwerp. Het uiterlijk van het logo op de zijkant en de voering is wat dieper van toepassing. Al die tijd heeft de rubberen zool, die oorspronkelijk wit was, een vuile en versleten look. Kijk nu voor de schoen op Puma-accounts, waaronder End in het VK. Wat vind je van de vintage look? Is het al het geld waard dat de schoen kost om er jaren oud uit te zien?

Als u niet bekend puma suede bent met de MMQ capsulecollectie van Puma, overweeg dan om deze post als een roundhouse-schop in de mond te nemen. MMQ is een acroniem voor de Duitse uitdrukking Mach Mit Qualitat, wat zich vertaalt naar Do It With Quality en zoals je kunt zien aan de bovenstaande afbeeldingen, voldoen de sneakers aan die standaard. De suède chukka gebouwd runner is getrimd in leer en zit bovenop een kurk buitenzool in grijs of zwart om een verbluffend nieuw nummer te maken dat nu verkrijgbaar is bij bepaalde Puma retailers. Deze nieuwe Takumi Collection van PUMA Japan is ronduit geweldig, volgepakt met een aantal kwijlen waardige sneakers voor de winter. De collectie bevat twee van de beste silhouetten van Puma, elk met een high fashion-look. Als eerste is de RS High, gemaakt van premium nubuck, verkrijgbaar in zowel Tan als Black. Vervolgens hebben we de lage top sneaker van de eerste ronde, gevuld met bont en gekleed in zowel bruin als zwart. Bekijk de galerij hierboven en laat ons weten wat je ervan vindt!

Deze nieuwe "Takumi" -collectie van PUMA Japan is niet minder dan geweldig, en nu heeft Puma nog beter vakmanschap voortgebracht met hun Made in Japan 'Takumi-releases. In de nieuwste releases brengt Puma het Slipstream-model terug, dat een stijlvolle look afgeeft omdat het wordt omhuld door slangenhuid. De sneaker heeft zowel een rood / witte als een blauw / witte colorway met een fraai gestructureerd bovendeel en een lederen 'Made in Japan-badge achter de tong'. Bekijk de galerij hierboven en laat ons weten wat je ervan vindt!

Het Puma Stepper Outdoor-pakket is eindelijk beschikbaar en hoewel het waarschijnlijk geen Amerikaanse retailers raakt, doet Foot Patrol solide en accepteert het online bestellingen. De sneaker heeft een Millerain leren bovenwerk in saturn of antiek bruin en beide modellen zien er net zo luxueus uit als elke premium Puma-versie die puma rihanna we ooit hebben gezien. Als je geïnteresseerd bent in een paar, klik dan op de onderstaande link voordat de voorraad opraakt. Dit is Puma Glide II Mid, dat deel uitmaakt van een premium bekleed ontworpen door Hussein Chalayan, nu verkrijgbaar bij Puma-winkels zoals New York City. Het middelste model heeft een antracietkleurige kleurstelling, die ondertussen is gemaakt van leer en suède. Meer specifiek, suède werkt de tong, enkel en hiel gebieden. Een beetje diepte toevoegen aan de subtiele look is het gebruik van wit op de binnenvoering en buitenzool. Zoals Immagine we al zeiden, is Kith nu bezig met de kicks.
Messaggi: 3
Iscritto il: gio 11 ott 2018, 4:04

new balance 998

Messaggioda MeganQuiller il gio 11 ott 2018, 4:26

Welbevinden is iets dat alleen maar waarheidsgetrouw kan worden new balance 530 bereikt door stabiliteit van niet alleen de lichamelijke en psychologische delen van het leven maar ook van een transcendente dimensie. Het is duidelijk dat dit niet betekent dat je vertrouwen hoeft te hebben in slechts één ding of in hetzelfde als iedereen. Er is desalniettemin een intern deel van ons verwijderd van het lichaam en zelfs buiten de bewuste geest die een beetje gecultiveerd en verwend moet worden en vaak is dit het deel dat genegeerd wordt als we onze gezondheidsgerelateerde doelstellingen niet bereiken en doen Ik weet de reden niet. Een goede bedachtzaamheid in wat een persoon goed of minder maakt dan dat, vereist een brede blik in plaats van een enkel kenmerk van welzijn en het is voor dit doel dat velen van ons

vastgesteld dat het toevoegen van veranderingen aan hun voeding en actieniveaus niet regelmatig voldoende is om verandering te produceren die zij zoeken. Een probleem is dat tal van dieetplannen en zelfs artsen nalaten te benadrukken dat er een veelheid van oorzaken zijn die de gezondheid en het welzijn van een persoon beïnvloeden en hun vermogen om een new balance u420 goede gezondheid te behouden. Zonder twijfel is een van de hoofdoorzaken van een verslechterende gezondheid spanning en tot nu is het een kwestie waar velen van ons nog steeds weinig tijd aan besteden om te filosoferen. Dit is een reden waarom gehuwde paren langer leven dan alleenstaande mensen, omdat velen worden getroost door een verbinding en de liefde en zorg die het hen in new balance 997 hun bestaan geeft. Wanneer je de manieren om beter te worden in gedachten houdt, is het echt het beste om naar je levensstijl te kijken en na te denken over de vorderingen die je meer tevreden zullen stellen en ze vervolgens zullen doorzien.

Prestaties 3.6 2016 Wereldwijde sleutel Fabrikanten Saldo Scooter Grondstoffen Bronnen AnalyseHoofdstuk Vier Saldo Scooter Overheidsbeleid en nieuws 4.1 Overheidsgerelateerde beleidsanalyse 4.2 Industrie Nieuwsanalyse 4.3 Evenwichtsscooter Industrieontwikkeling TrendHoofdstuk Vijf Balance Scooter Fabricageproces en kostenstructuur 5.1 Balance Scooter Productspecificaties 5.2 Balans Scooter Productieprocesanalyse 5.3 Balance Scooter KostenstructuuranalyseInformatie voor het kopen van rapport Werk - levensbalans is iets waar we allemaal naar streven. Meer dan wij eisen onze gezinnen dat we het kantoor niet naar huis brengen. Maar kunnen we dat vermijden? Voor zoveel professionals vandaag, de vrijheid new balance zwart van werken altijd en overal,

of een nachtclub voor die kwestie. Ten tweede zijn het het apparaat en de gegevens. Als je niet twee belangrijke apparaten wilt kopen en kopen, een voor je werk en een voor jezelf, dan zullen de twee delen van je leven elkaar overlappen, wat je ook doet. Er zijn ontwikkelingen op dit gebied, maar er blijft bezorgdheid bestaan over de beveiliging van gegevens. Als u het bedrijf verlaat, wil uw werkgever alles met betrekking tot zaken doen. Als ze niet alles hebben gemarkeerd dat zakelijk is, is de enige optie om de hele telefoon te wissen. Daar gaan al je persoonlijke gegevens, apps, foto's en muziek. Een andere belangrijke beveiligingskwestie is het delen van bedrijfsgegevens. De gegevens op het apparaat (indien gemeenschappelijk) kunnen worden gekopieerd en gedeeld via persoonlijke e-mail / communicatienetwerken.

Door uw creditsaldo over te maken, koopt u meer tijd om uw schulden terug te betalen en waarschijnlijk zelfs tegen een lagere rentevoet. Dus, als je een spaarzame besteding bent, maar op zoek bent om te bepalen hoeveel je hebt, en gezien deze turbulente tijden in onze economie, dan kan je ook kiezen om je saldo over te dragen en te proberen somemoney te besparen. Dit komt omdat er een extreem brede verschillende schoenen online, zodat u nooit iets mist dat speciaal voor uw voeten is ontworpen. Vergeet niet dat je bij het correct aanschaffen van schoenen rekening moet houden met alle aspecten van je lichaam, inclusief zijn soort, voetactie, vorm en problemen of medische omstandigheden die je zou kunnen voeden, zoals hieronder wordt besproken.

Om te beginnen moet u rekening houden met de maten van uw achter- en voorvoet, samen met afmetingen voor tenen, jeep en houding. Om new balance 998 ervoor te zorgen dat aan deze behoeften volledig wordt voldaan, besloot nieuwe balans om unieke modellen (leest) voor mannen te ontwikkelen die anders zijn dan die voor vrouwen en kinderen. De afmetingen en afmetingen van uw favoriete NB-schoenen moeten in overeenstemming zijn met de systeemafmetingen van Brannock. D-maat in herenschoenen is bijvoorbeeld een factor die vergelijkbaar is met de grootte van de methode of de consistentie. Wanneer u echter dezelfde maat aanklaagt in damesschoenen, verwijst u naar een bredere selectie. Dit is anders dan het gebruik van B-maat in damesschoenen, Immagine wat eigenlijk de standaard is voor de meest gangbare maat.
Messaggi: 3
Iscritto il: gio 11 ott 2018, 4:04

Torna a Combinatoria

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 4 ospiti