Coppie di funzioni biunivoche

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Messaggioda Feanor il mer 10 dic 2008, 22:36

Vedo che l'argomento è un po' degenerato... (colpa mia, ammetto che il problema sia decisamente mal posto :redface: )

Feanor ha scritto:Più generalmente f \circ g deve essere commutativa (ovvero f \circ g = g \circ f). Contiene le vostre soluzioni come caso particolare. :bye:

Era solo un'osservazione sulle risposte date da pic e desh. Precisamente chiedevo di trovare l'insieme I delle ipotesi minime ,da intersecare all'insieme contenente l'ipotesi (f \circ g)(\cdot) E \to E è invertibile ( dove f(\cdot): E \rightarrow E e g(\cdot) : E \rightarrow E), con il quale si possa concludere la tesi di cui sopra, supponendo di non conoscere alcunché sull'insieme E. La soluzione mi sembrava semplice perché "costruttiva", ora ve la presento.

Tesi: f \circ g invertibile \land\ I \iff f, g biunivoche.

Dim: \Longleftarrow è ovvia.
\Longrightarrow Sia U = g(E) \subseteq E.
f(\cdot) è suriettiva: se così non fosse si avrebbe in particolare f(U) \subsetneq E, il che è in contrasto con l'ipotesi; inoltre g(\cdot) deve essere iniettiva, infatti se non lo fosse avremmo che

    \exists x_1 \in E, \exists x_2 \neq x_1 \in E, y \in U:g(x_1) = g(x_2) = y \Longrightarrow (f \circ g)(x_1) = (f \circ g)(x_2),
ciò violerebbe l'iniettività della funzione composta e quindi è assurdo. Allo stesso modo, siano y_1 \neq y_2 \in U

    f(y_1) = f(y_2) = z \Longrightarrow \exists\ x_1 \neq x_2 \in E : (f \circ g)(x_1) = (f \circ g)(x_2),
per l'iniettività di g(\cdot); in definitiva, f_{|I}(\cdot) è iniettiva.
Supponiamo ora esista y \in E \setminus U; poiché necessariamente f(U) = E, si ha che esiste y_1 \in U: f(y) = f(y_1). Affinché valga la tesi, è necessario e sufficiente che U = E, cioè I = \{g(\cdot) \mbox{ \`e suriettiva }\}.

Spero di essere stato chiaro (e soprattutto di non aver scritto scemenze) :bye:

P.S.:

pic ha scritto:Un'altra condizione sufficiente era, ad esempio, 2=1.

Questa è malizia, però. :yup:
Feanor
 
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