Coppie di funzioni biunivoche

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Coppie di funzioni biunivoche

Messaggioda Ani-sama il lun 8 dic 2008, 22:04

È proprio semplice, ma secondo me ha un suo interesse.

Dimostrare che f: A \to B, g: B \to A sono biunivoche se e solo se g \circ f e f \circ g lo sono.
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Messaggioda Feanor il lun 8 dic 2008, 22:40

È veramente un po' troppo semplice; forse sarebbe stata meglio nella sezione Esercizi Scolastici.
Tuttavia, sebbene sia quasi banale, non lo avevo mai pensato... grazie Ani-sama per questo spunto. :bye:
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Più nel dettaglio...

Messaggioda Ani-sama il mar 9 dic 2008, 4:37

Volendo, si può anche dimostrare che, date f e g come sopra, se g \circ f è biunivoca, allora f è iniettiva e g è suriettiva. :)
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Messaggioda Feanor il mar 9 dic 2008, 16:04

Ani-sama ha scritto:Volendo, si può anche dimostrare che, date f e g come sopra, se g \circ f è biunivoca, allora f è iniettiva e g è suriettiva. :)

Questo bisogna usarlo per dimostrare la condizione necessaria nel primo teorema. Va beh, rilancio.

Siano f e g due applicazioni di un insieme E in sé. Trovare l'ipotesi aggiuntiva per cui risulti questa tesi: f \circ g è invertibile se e solo se sia f che g lo sono. (veramente facilotto :blush: )
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Messaggioda pic il mar 9 dic 2008, 20:32

Ipotesi aggiuntiva: E ha uno ed un solo elemento. Va bene no? :mrgreen:
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Messaggioda desh il mar 9 dic 2008, 20:51

pic ha scritto:Ipotesi aggiuntiva: E ha uno ed un solo elemento. Va bene no?


tecnicamente sì. Alternativa: g è l'identità.
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Messaggioda Feanor il mar 9 dic 2008, 23:04

Più generalmente f \circ g deve essere commutativa (ovvero f \circ g = g \circ f). Contiene le vostre soluzioni come caso particolare. :bye:
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Messaggioda salvo.tringali il mer 10 dic 2008, 8:12

Feanor ha scritto:[...] Va beh, rilancio. [...] Siano f e g due applicazioni di un insieme E in sé. Trovare l'ipotesi aggiuntiva per cui risulti questa tesi: f \circ g è invertibile se e solo se sia f che g lo sono. [...]

Feanor ha scritto:Più generalmente f \circ g deve essere commutativa (ovvero f \circ g = g \circ f). [...]

Siano f(\cdot) e g(\cdot), rispettivamente, le funzioni \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^3 e \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^3+1. È banale che f(\cdot) e g(\cdot) sono invertibili, siccome entrambe monotòne (strettamente) crescenti e tali che \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} g(x) = \pm \infty (la scrittura è ambigua, ma confido sarà chiaro cosa intendo). Inoltre, per ogni x \in \mathbb{R}, vale che f \circ g(x) = (x^3+1)^3 e g \circ f(x) = x^9+1. Perciò f \circ g(\cdot) \ne g \circ f(\cdot). I.e., f(\cdot) e g(\cdot) non commutano. Eppure f \circ g(\cdot) è invertibile. Che mi perdo?
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Messaggioda pic il mer 10 dic 2008, 16:30

Forse Feanor intendeva solo che quella era l'ipotesi aggiuntiva a cui aveva pensato. In ogni caso la risposta di Desh (che ringrazio per avermi confermato l'idea che un insieme singolo contiene solo l'identità come funzione in se stesso, e spero che almeno dentro parentesi l'ironia si capisca) mette in luce quanto un problema del genere sia mal posto. Un'altra condizione sufficiente era, ad esempio, 2=1. Mi fermerei qui con la discussione, se siete d'accordo. :)
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Messaggioda salvo.tringali il mer 10 dic 2008, 17:34

pic ha scritto:[...] Mi fermerei qui con la discussione, se siete d'accordo. :)

Augh!
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