Teorema di Cantor-Schröder-Bernstein

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Teorema di Cantor-Schröder-Bernstein

Messaggioda Feanor il sab 21 nov 2009, 14:06

Lemma della concordia. Siano X,\ Y due insiemi non vuoti, f(\cdot): X \to Y,\ g(\cdot): Y \to X due funzioni. Allora esistono una partizione \big\{X_1, X_2\big\} di X ed una partizione \big\{Y_1, Y_2\big\} di Y tali che f(X_1)= Y_1 e g(Y_2) = X_2.

Dim. Si consideri la funzione

    h(\cdot): \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X): E \mapsto X \setminus g\big(Y \setminus f(E)\big)\ .
Nel caso esista X_1 \in \mathcal{P}(X) tale per cui h(X_1) = X_1, allora Y_1 := f(X_1),\ Y_2 := Y \setminus Y_1,\ X_2 := X \setminus X_1 = g\big(Y \setminus f(X_1)\big) = g(Y_2) sono gli insiemi voluti. Inoltre

    E_1 \subseteq E_2 \Longrightarrow f(E_1) \subseteq f(E_2) \Longrightarrow Y\setminus f(E_1) \supseteq Y\setminus f(E_2)\Longrightarrow g\big(Y\setminus f(E_1)\big) \supseteq g\big(Y\setminus f(E_2)\big) \Longrightarrow h(E_1) \subseteq h(E_2)\ ;
h(\cdot) è, quindi, una funzione monotòna crescente, rispetto all'ordinamento insiemistico canonico.
Sia ora definito \mathcal{M}:=\big\{M \in \mathcal{P}(X): h(M) \subseteq M\big\}, il quale è non vuoto in quanto X \in \mathcal{M}; si ha che

    \displaystyle X_1 := \bigcap_{M \in \mathcal{M}} M\ .
Infatti, per ogni ogni M \in \mathcal{M}, da X_1 \subseteq M si ha h(X_1)\subseteq h(M) \subseteq M, in virtù della monotonìa di h(\cdot) e dalla proprietà caratteristica di \mathcal{M}; ma quindi, per definizione,

    \displaystyle h(X_1) \subseteq \bigcap_{M \in \mathcal{M}} M = X_1\ .
Inoltre, sempre per monotonìa, h\big(h(X_1)\big) \subseteq h(X_1), da cui h(X_1) \in \mathcal{M}; dunque, X_1 \subseteq h(X_1), il che conclude la dimostrazione. \square

Teorema (di Cantor-Schröder-Bernstein). Siano X, Y insiemi non vuoti, f(\cdot): X \to Y,\ g(\cdot): Y \to X funzioni iniettive. Allora esiste h(\cdot): X \to Y biettiva.

Dim. Siano, rispettivamente, \big\{X_1, X_2\big\} la partizione di X e \big\{Y_1, Y_2\big\} quella di Y che soddisfino alle proprietà del lemma della concordia. Allora la funzione

    h(\cdot): X \to Y: x \mapsto \begin{cases} f(x) & \mathbox{, se }\ x \in X_1 \\ g^{-1}(x) & \mathbox{, se }\ x\in X_2 \end{cases}\ ,
dove g^{-1}(\cdot): X_2 \to Y_2 è l'inversa di g(\cdot): Y_2 \to X_2, è certamente una biezione. \square
Feanor
 
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