Iniettività e suriettività della funzione composta

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Iniettività e suriettività della funzione composta

Messaggioda smart il lun 19 ott 2009, 19:10

Salve a tutti, sono nuovo da queste. ho scoperto questo furum poichè stavo cercando qualcuno che potesse aiutarmi su degli esercizi. Spero di non sbagliare luogo.

Siano A, B e C tre insiemi e siano f: A\to B e g:C\to D. Provare che:

  1. se g,f iniettive, allora g \circ f iniettiva.
  2. se g\circ f iniettiva, allora f iniettiva.
  3. se f e g surriettive, allora g\circ f surriettiva.
Chi mi da una mano a capirne qualcosa di più. Grazie.
smart
 
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Messaggioda salvo.tringali il lun 19 ott 2009, 20:55

Tanto vale vederlo una volta per tutte. Resta il fatto che nelle premesse ci manca un'ipotesi essenziale - che B sia contenuto in C: altrimenti col cavolo che componi g con f (cf. qui). Inoltre si scrive suriettivo, con una sola r. Forse sei calabrese? Forse sicilian*? Siamo noi altri, che abbiamo la tendenza ingenita a rinforzare le consonanti. :mrgreen:

smart ha scritto:[...] Siano A, B e C tre insiemi e siano f: A\to B e g:C\to D. Provare che:

  1. se g,f iniettive, allora g \circ f iniettiva.
  2. se g\circ f iniettiva, allora f iniettiva.
  3. se f e g surriettive, allora g\circ f surriettiva.

1. Siano x,y \in A. Allora f(x) \ne f(y), in quanto f(\cdot) è iniettiva, ed f(x),f(y) \in B \subseteq C. Di conseguenza pure g(f(x)) \ne g(f(y)), dal momento che anche g(\cdot), per ipotesi, è iniettiva. Ovvero (g \circ f)(x) \ne (g \circ f)(y). Ne segue la tesi. []

2. Supponiamo, per assurdo, che f(\cdot) non sia iniettiva. Allora esistono x,y \in A tali che x \ne y ed f(x) = f(y), di modo che

    (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(f(y)) = (g \circ f)(y),
e perciò anche (g \circ f)(\cdot) non è iniettiva, in contraddizione con le ipotesi. Assurdo! []

3. È falsa. Considera, per dire, le funzioni f(\cdot): [0,1] \to [0,1]: x \mapsto x e g(\cdot): [0,2] \to [0,2]: x \mapsto x. Allora il prodotto di composizione (g \circ f)(\cdot) è ben definito in termini della funzione [0,1] \to [0,2]: x \mapsto x, che non è chiaramente suriettiva, nonostante emtrambi i suoi fattori siano tali. []

P.S.: trasloco il thread per via direttissima in Esercizi scolastici.
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