Induzione transfinita

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Induzione transfinita

Messaggioda pic il gio 20 ago 2009, 10:50

In questo thread compare il Lemma di Zorn, che come sappiamo equivale all'assioma della scelta ed al principio del buon ordinamento, che afferma che ogni insieme X ammette un ordinamento con la proprieta' che ogni A\subseteq X ammetta minimo. Per x \in X insieme ben ordinato, definiamo I_x il segmento iniziale associato ad x, cioe' l'insieme degli elementi minori di x in X.

Principio dell'induzione transfinita
Sia X un insieme ben ordinato. Se per \varnothing \neq A\subset X vale I_x \subset A \Rightarrow x\in A allora A=X.

Dim
. Se A\neq X sia y= \min(X\setminus A). Allora I_y\subset A cioe' y \in A, assurdo.[]



Lemma 1 Se X,Y sono insiemi ordinati non isomorfi allora X e' isomorfo ad un segmento iniziale di Y o viceversa

Dim. E' un'applicazione del lemma di Zorn.[]


Definiamo ora l'insieme degli ordinali.

Lemma 2 Esiste un insieme ben ordinato non numerabile \omega_1 tale che ogni suo segmento iniziale sia numerabile.
Dim. Prendo X ben ordinato e non numerabile, e definisco \omega_1:=X oppure \omega_1:=I_t ove t=\min\{x\in X\mid I_x \textrm{ non e' numerabile}\} a seconda dei casi.

Osservo che, grazie al Lemma 1, vale \# \omega_1 \leq \mathfrak{c}. \omega_1, unico a meno di isomorfismi, e' detto insieme degli ordinali. []
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Un'applicazione

Messaggioda pic il gio 20 ago 2009, 12:30

In ambiti quali la Teoria della Misura, e' utile il concetto di sigma-algebra. Dato un insieme X ed un suo sottoinsieme \mathcal E e' facile definire la \sigma-algebra \mathcal{M}(\mathcal{E}) da esso generata, in virtu' del fatto che l'intersezione arbitraria di sigma algebre e' ancora una sigma algebra. Ma come definire costruttivamente la sigma-algebra generata da \mathcal{E}?

La questione e' affrontata alla fine del cap.1 di Real Analysis, Modern techniques and their applications, celebre testo di Folland. Egli dimostra la seguente proposizione:

\displaystyle \mathcal{M}(\mathcal{E})=\bigcup_{\alpha \in \omega_1} \mathcal{E}_\alpha ove:

\displaystyle\mathcal{E}_0:=\mathcal{E}
\mathcal{E_\alpha}:=\begin{cases} \displaystyle \left\{ E\mid  E = \bigcup_{i\in \mathbb{N}} E_i \ \text { oppure } E^c=\bigcup_{i\in \mathbb{N}} E_i  \;\ \exists \{E_i\}\subset \mathcal{E_{\alpha^-}} \right\}  \textrm{se } \alpha \textrm{ ha un immediato predecessore } \alpha^-\\ \\ \displaystyle \bigcup_{\beta<\alpha}\mathcal{E}_\beta \textrm{ altrimenti }

\end{cases}

E' un bell'esercizio sull'induzione transfinita provare a dimostrarlo, magari provando preliminarmente che ogni successione in \omega_1 ha un upper bound.
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