Zeri di funzioni olomorfe non si lasciano racchiudere?

[killing_buddha]

Supponiamo che sia una funzione olomorfa, tale che abbia infinite soluzioni.

Surely known. L'insieme degli zeri di puo' essere limitato?

Note. (1) "limitato" va inteso nell'ovvia accezione di esiste una palla di raggio finito che contiene .

[salvo.tringali]

Supponiamo che sia una funzione olomorfa, tale che abbia infinite soluzioni.

Surely known. L'insieme degli zeri di puo' essere limitato?

Sia la funzione , dove . Senz'altro è olomorfa, poiché composizione di funzioni olomorfe. Inoltre , per qualche , sse , al variare di . Con le notazioni del quote, ne risulta che è un insieme infinito, e ciò nonostante limitato, poiché contenuto nel cerchio del piano di Argand centrato nell'origine e di raggio .

P.S.: ne approfitto per ricordare che c'è un altro problema inerente agli zeri di una funzione olomorfa, che attende risposta, qui nella sezione di Analisi.

[killing_buddha]

Ok! E ora... se chiediamo, in piu', che non abbia singolarita' essenziali?

[salvo.tringali]

Supponiamo che sia una funzione olomorfa, tale che abbia infinite soluzioni.

Surely known. L'insieme degli zeri di puo' essere limitato?

[...] E [...] se chiediamo, in piu', che non abbia singolarita' essenziali?

In tal caso prendi la restrizione della funzione identicamente nulla all'insieme . Ovviamente è olomorfa, e altrettanto ovviamente è un insieme infinito e limitato.

[killing_buddha]

Ci stiamo arrivando per gradi: e ne esistono di "non banali"?

[Ani-sama]

E... se prendo qualcosa come definita da ?

[salvo.tringali]

Ok! E ora... se chiediamo, in piu', che non abbia singolarita' essenziali?

E... se prendo qualcosa come definita da ?

Non va comunque bene, perché la funzione presenta nello zero una singolarità essenziale, per ogni , ti pare?!

Ci stiamo arrivando per gradi: e ne esistono di "non banali"?

Mettiamo che sia l'unione del cerchio e della regione complementare alla chiusura di , cioè complementare all'insieme . Quindi definiamo la funzione assumendo , se , ed , se . Allora , poiché la funzione esponenziale , come noto, è priva di zeri (cf. qui). Dunque è limitato, e ciò nondimeno è olomorfa.

[WiseFool]

Scusa, cosa intendi con "senza singolarità essenziali"? Prendi la funzione olomorfa che realizza il rivestimento universale dal disco unitario al piano meno (edit) due punti (1 e -1, ad esempio). Questa funzione assume infinite volte il valore 0, è definita solo nel disco unitario e quindi ha infiniti zeri limitati. Tecnicamente, se per singolarità essenziale intendi un punto che ha un intorno in cui la funzione è sviluppabile in serie di Laurent e in tale sviluppo compaiono infiniti termini negativi, beh, questa funzione non ne ha...

[salvo.tringali]

[...] cosa intendi con "senza singolarità essenziali"? [...] intendi un punto che ha un intorno in cui la funzione è sviluppabile in serie di Laurent e in tale sviluppo compaiono infiniti termini negativi[?] [...]

A giudicare dalla pagina della Wiki urlata nel suo secondo intervento sul topic, presumo KB intenda esattamente quel che hai scritto tu. Dicasi lo stesso per il sottoscritto, nel caso la domanda fosse rivolta a me, anziché a lui.

[...] Prendi la funzione olomorfa che realizza il rivestimento universale dal disco unitario al piano due punti (1 e -1, ad esempio). Questa funzione assume infinite volte il valore 0, è definita solo nel disco unitario e quindi ha infiniti zeri limitati. [...]

Ho scarsa familiarità con i rivestimenti e con il linguaggio della relativa teoria, e d'altro canto tanta voglia di imparare. Dunque mi faccio avanti a chiedere:

1) il piano due punti che sarebbe? Forse il piano privato di due suoi punti (distinti)?

2) se , cosa garantisce che la funzione che realizza il rivestimento universale di , sia olomorfa (ovvero analitica)? Immagino si tratti di un teorema famoso - a me, però, del tutto sconosciuto: l'ignoranza è un brutto affare.

3) nelle notazioni del punto precedente, come provare che possiede infiniti zeri?

4) ancóra nelle stesse notazioni, come escludere che non si possa estendere per continuazione analitica a una funzione olomorfa ? La domanda trascende il problema di KB, ed è collegata, piuttosto, all'opportunità, in generale, di assicurare che la costruzione di un esempio o controesempio sia, in un senso opportuno, massimale.

Ciao e grazie!

[WiseFool]

Allora, il piano due punti è un typo: intendevo il piano meno due punti, ad esempio, giustamente, .

Poi, rapida scorsa della teoria:

1) dato un rivestimento se Y è una varietà complessa (analitica reale, differenziabile, topologica, simplettica, ...) allora anche X lo è: basta costruire carte su X con aperti che sono omeomorfi alla propria immagine tramite , usando le relative carte di Y; con tale struttura di varietà complessa su X, la mappa  è olomorfa e esiste un'unica struttura su X (fissata quella su Y) con questa proprietà;

2) ogni spazio topologico con proprietà decenti (le varietà topologiche ci rientrano) ha un rivestimento universale, quindi in particolare ogni aperto del piano complesso ha un rivestimento universale che è una 1-varietà complessa (grazie al punto 1);

3) per il teorema di uniformizzazione di Riemann esistono solo tre 1-varietà complesse semplicemente connesse: la sfera, il piano, il disco aperto unitario (gli ultimi due sono omeomorfi come varietà topologiche, ma non biolomorfi, grazie al teorema di Liouville);

4) la cardinalità della controimmagine di un punto tramite un rivestimento corrisponde al numero di elementi del gruppo delle trasfromazioni di deck del rivestimento; nel caso del rivestimento universale tale gruppo è il gruppo fondamentale dello spazio rivestito che, nel caso del piano meno due punti, è il gruppo libero su due elementi, quindi infinito;

5) esiste nel disco un dominio fondamentale U per il rivestimento; fissato un punto "generico" del bordo del disco (a meno di una quantità numerabile) ogni intorno di tale punto contiene infinite copie di U tramite automorfismi del disco, che sono ancora domini fondamentali per il rivestimento. Quindi quasi ogni punto del bordo contiene almeno una controimmagine di ogni elemento dell'immagine, quindi la funzione non è prolungabile oltre il bordo del disco.