Un dubbio sulla convoluzione nella definizione di una funzione bump

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Un dubbio sulla convoluzione nella definizione di una funzione bump

Messaggioda Gloria il sab 3 set 2016, 15:49

Sia $\Omega\subset \mathbb{R}^n $ aperto e sia $\Omega'\subset \subset \Omega$.

Voglio trovare una funzione $\varphi\in C^\infty (\Omega)$ con ${\rm supp}\subset \Omega$ tale che:

- $0\leq\varphi\leq1$
- $\varphi\equiv 1$ in $\Omega'$



So che una funzione di questo tipo è $\phi=\mathbb{1}_{\bar\Omega}\ast \rho _\epsilon$, con $\Omega \subset \subset \bar \Omega \subset \subset \Omega$ e $\rho_\epsilon$ il mollificatore standard.

La mia domanda:Perchè non va bene la funzione $\phi=\mathbb{1}_{\Omega'}\ast\rho _\epsilon$?
Non è $1$ su $\Omega'$?

Grazie mille!
Ultima modifica di Gloria il gio 3 nov 2016, 14:35, modificato 2 volte in totale.
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Re: Un dubbio sulla convocazione nella definizione di una funzione bump

Messaggioda maurer il sab 3 set 2016, 16:46

Saresti così gentile da dirci che cos'è per te il mollificatore standard? Forse il seguente?

$$\rho_\epsilon(x) = \begin{cases} \text{exp}\left( \frac{1}{\|x\|^2-\varepsilon^2} \right) & \text{se } \|x\| < \varepsilon \\
0 & \text{altrimenti.} \end{cases} $$
Je n'ai jamais compris qu'on se rassasiât d'un être...
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Re: Un dubbio sulla convocazione nella definizione di una funzione bump

Messaggioda Gloria il sab 3 set 2016, 16:50

Sì, è quello. Scusate!
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Messaggioda salvo.tringali il sab 17 set 2016, 9:15

Gloria ha scritto:Sia $\Omega\subset \mathbb{R}^n $ aperto e sia $\Omega'\subset \subset \Omega$. Voglio trovare una funzione $\varphi\in C^\infty (\Omega)$ con ${\rm supp}\subset \Omega$ tale che:

- $0\leq\varphi\leq1$
- $\varphi\equiv 1$ in $\Omega'$

So che una funzione di questo tipo è $\phi=\mathbb{1}_{\bar\Omega}\ast \rho _\epsilon$, con $\Omega \subset \subset \bar \Omega \subset \subset \Omega$ e $\rho_\epsilon$ il mollificatore standard.

Qualche dubbio sulla consegna. Per caso intendevi ${\rm supp}(\varphi) \subseteq \Omega^\prime$ (al momento, si legge ${\rm supp}\subseteq \Omega$), $\varphi=\mathbb{1}_{\bar\Omega}\ast \rho _\epsilon$ (al momento, si legge $\phi=\mathbb{1}_{\bar\Omega}\ast \rho _\epsilon$), e $\Omega^\prime \Subset \bar \Omega \Subset \Omega$ (al momento, si legge $\Omega \Subset \bar \Omega \Subset \Omega$)? In tal caso, ti invito a editare l'OP e fissare questi typo. Inoltre, che cosa denota l'asterisco? Il prodotto puntuale, o il prodotto di convoluzione?

Gloria ha scritto:La mia domanda:Perchè non va bene la funzione $\phi=\mathbb{1}_{\Omega'}\ast\rho _\epsilon$? Non è $1$ su $\Omega'$?

Supponi $n = 1$ e $\Omega = \bf R$, e ammetti che $\Omega^\prime$ sia l'insieme $[0, 1] \cap \mathbf Q$ (i punti razionali nell'intervallo $[0, 1] \subseteq \bf R$). Prova, quindi, a calcolare il prodotto di convoluzione di $\mathbb{1}_{\Omega^\prime}$ e $\rho _\epsilon$: si tratta della funzione identicamente nulla su $\bf R$, in quanto $\mathbb{1}_{\Omega^\prime}(x) = 0$ quasi ovunque per $x \in \mathbf R$ (nel senso della misura di Lebesgue sui reali), e però vorresti che $\varphi(x) = 1$ per ogni $x \in \Omega^\prime$. D'altra parte, il prodotto puntuale di $\mathbb{1}_{\Omega^\prime}$ e $\rho _\epsilon$ non è una funzione continua, e però hai richiesto che $\varphi$ sia liscia in $\Omega$. Dunque, indipendentemente dall'interpretazione del simbolo "$*$" nel tuo post, dovresti avere la risposta che cercavi. (Per inciso, il mollificatore standard non basta per dimostrare quel che desideri...)

P.S.: che c'azzecca la parola "convocazione" nel titolo del thread?
"Che bella storia", disse l'Alchimista. | Whatever can be encoded by syntax shouldn't be left to semantics. | Homomorphisms are to algebraic structures as seminorms are to ordered structures.
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