[Topologia Algebrica] Una variante di Van Kampen?

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[Topologia Algebrica] Una variante di Van Kampen?

Messaggioda Ani-sama il lun 5 gen 2009, 21:58

Durante il corso di "introduzione alla topologia algebrica" mi è stato presentato il seguente risultato come "teorema di Van Kampen 2", per quanto non ho precisamente idea se sia una denominazione storicamente accurata. L'enunciato è: X spazio topologico tale che X=A \cup B con A,B aperti connessi per archi tali che A \cap B = C \cup D, con C,D aperti disgiunti e semplicemente connessi. Allora, se x_0 \in A, \pi_1(X,x_0) \cong \pi_1(A,x_0) * \mathbb Z, con * indicando il prodotto libero di gruppi. Come faccio a dimostrarlo?

EDIT: ho aggiunto un'ipotesi che mancava. La dimostrazione che conosco (mostratami dal mio insegnante) non è per niente banale, comunque. :o
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Ani-sama
 
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Messaggioda WiseFool il mar 7 lug 2009, 16:56

Se hai una dimostrazione, la cosa è preoccupante... il teorema sembra falso:
considera l'insieme X=\{|z+2|=1\}\} \cup \{|z|=1\}\cup\{|z-2|=1\} nel piano complesso; poni
A=X\cap\{\Re(z)>-1/2\} e B=X\cap\{\Re(z)<1/2\}.
Allora
A\cap B è l'unione di due archi di circonferenza disgiunti.
Però
\pi_1(A,x_0)=\mathbb{Z}
visto che è una circonferenza unita per un punto ad un segmento, mentre
\pi_1(X,x_0)=\mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\mathbb{Z}
poiché è il wedge di 3 circonferenze.
Non è che forse manca un'ipotesi sulla semplice connessione di B oppure vuoi una formula del tipo
\pi_1(X,x_0)=\pi_1(A,x_0)*\pi_1(B,x_0)*\mathbb{Z}
con x_0\in A\cap B?
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