[Topologia] Compact-Hausdorff

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[Topologia] Compact-Hausdorff

Messaggioda WiseFool il ven 3 ott 2008, 12:05

Sia X uno spazio compatto, Y uno spazio di Hausdorff, se f:X\to Y è continua, iniettiva e surgettiva, allora è un omeomorfismo.

Mostrare che la tesi non segue se uno dei due spazi non rispetta le ipotesi.
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Prima parte

Messaggioda Ani-sama il mer 5 nov 2008, 1:53

Beh, basta mostrare che f è chiusa per concludere. Se K \subseteq X è un chiuso, allora siccome X è compatto, è compatto a sua volta. f è continua, quindi f(K) è compatto in Y; ma Y è di Hausdorff, quindi ogni compatto è chiuso, e questo ci porta a conclusione. :)
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Messaggioda WiseFool il mer 5 nov 2008, 11:33

Giusto. E il controesempio?
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Il controesempio

Messaggioda WiseFool il mar 11 ago 2009, 13:33

Un controesempio in cui il dominio non è compatto è facilmente ottenuto da una qualunque parametrizzazione di una curva chiusa; ad esempio
f:[0,2\pi)\to\mathbb{S}^1
data da
f(t)=(\cos t, \sin t)
è iniettiva e surgettiva, continua, ma l'inversa non è continua.
Un controesempio in cui il codominio non è di Hausdorff si ottiene considerando la mappa
f:(X,\tau)\to (X,\sigma)
data da f(x)=x per ogni x, dove \tau è una topologia non banale che renda X compatto (ad esempio la topologia euclidea su [0,1]) e \sigma=\{\emptyset, X\} è la topologia più povera possibile. Questa mappa è ovviamente continua, bigettiva, ma non un omeomorfismo.
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