Sulla dimensione delle varietà topologiche.

Domande di teoria, mini-dispense degli utenti, richieste di riferimenti ad articoli, ...

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Messaggioda Michele Fornea il lun 16 apr 2012, 21:23

Sì.
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Messaggioda Julio14 il lun 16 apr 2012, 21:43

Michele Fornea ha scritto:Rilancio
Trovare esplicitamente una topologia su \mathbb{R}^2 che lo renda localmente omeomorfa a \mathbb{R}^m.
Il caso più facile è m=0.

Beh, per quanto ha detto ma_go, tutto sta nel trovare la bigezione esplicita tra \mathbb{R} e \mathbb{R}^2 (da cui quella tra \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^m (m>0)). Questa si fa così: abbiamo intanto una bigezione esplicita tra 2^{\mathbb{N}} e \mathbb{R} (iniezioni+(Cantor-Bernstein)(AC free)) , e una tra \mathbb{N} e \mathbb{N}\sqcup\mathbb{N} (0,0',1,1',2,2'...). Ora, canonicamente {(2^{\mathbb{N}})}^2\simeq 2^{\mathbb{N}\sqcup\mathbb{N}}, da cui, ricomponendo tutto, abbiamo una bigezione esplicita tra \mathbb{R} e \mathbb{R}^2. Da questa è facile risalire alla bigezione tra \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^m. Non espliciterò veramente tutto, sarebbe un'agonia inutile, in ogni caso a me pare che si possa fare, senza AC e altri passaggi poco espliciti (il peggio è C-B, ma si fa). Poi a dire il vero AC salta fuori ovunque come i funghi, quando meno te lo aspetti, quindi non garantisco nulla...
(p.s. il problema è che in generale il fatto che per cardinalità infinite A\simeq A^2 è equivalente alla scelta: questo mi fa sospettare che ci sia qualche baco nella mia dimostrazione, perché forse permetterebbe di dimostrare la scelta numerabile... o forse no. Dovrei riguardare la dimostrazione di A\simeq A^2\Rightarrow AC)
Ultima modifica di Julio14 il lun 16 apr 2012, 21:58, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda Michele Fornea il lun 16 apr 2012, 21:50

Per esplicita intendevo definire gli aperti in modo geometrico, m=0,1 si vedono,
ma per m generico non ho in mente nulla.
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Messaggioda Julio14 il lun 16 apr 2012, 22:01

Michele Fornea ha scritto:Per esplicita intendevo definire gli aperti in modo geometrico, m=0,1 si vedono,
ma per m generico non ho in mente nulla.

Se con geometrico intendi "continuo", esistono delle curve space-filling, ma penso siano abbastanza lontane da ciò che intende per esplicito... Altrimenti specifica meglio cosa intendi per esplicito.
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Messaggioda maurer il lun 16 apr 2012, 22:10

Infatti è proprio il problema delle space-filling rivisitato.
Per m = 3 si necessita di una biezione \mathbb R^2 \to \mathbb R^3, ossia una superficie che "riempia lo spazio".

Ma è già problematico il caso di mettere su \mathbb R la topologia di \mathbb R^2 (delle space filling propriamente dette). Già in questo caso bisognerebbe usare ad esempio la curva di Peano: chissà cos'è la controimmagine di una palla! Una roba molto incasinata, geometricamente...
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Messaggioda Michele Fornea il lun 16 apr 2012, 22:16

Formulo meglio il problema.
Trovare delle topologie definite geometricamente su \mathbb{R}^n tali che sia
localmente omeomorfo a \mathbb{R}^m dove m\le n.
E' più semplice di quanto pensiate, si deve poter descrivere a facilmente una base.
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Messaggioda Julio14 il lun 16 apr 2012, 22:18

Michele Fornea ha scritto:definite geometricamente

è qua il problema: cosa vuol dire definite geometricamente?
p.s. per ogni coppia di aperti non vuoti A\subset\mathbb{R}^n e B\subset\mathbb{R}^m, A non è omeomorfo a Bse n\neq m.
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Messaggioda maurer il lun 16 apr 2012, 22:51

Michele Fornea ha scritto:[...] dove m\le n.


Beh, ma questo cambia tutto. Questo è sostanzialmente ovvio: basta considerare la proiezione \pi \colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m che dimentica le ultime n-m coordinate. La controimmagine tramite questa funzione continua della topologia di \mathbb R^m è quello che cerchi.
E geometricamente è chiaro: si considerano dei "cilindri".

Il casino grosso è se chiedi m > n...
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Messaggioda Michele Fornea il mar 17 apr 2012, 8:23

maurer ha scritto:E geometricamente è chiaro: si considerano dei "cilindri".

Non mi sembra che questa topologia funzioni, prendi \pi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^1.
Un generico intorno dell'origine di \mathbb{R}^2 è la striscia (-\epsilon,\epsilon)\times\mathbb{R} con la topologia di sottospazio che non è
omeomorfo a \mathbb{R}.
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