Domandina

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Messaggioda Carlein il mer 21 mar 2012, 12:14

Avrei una piccola curiosità. Leggendo questo http://math.stackexchange.com/questions ... opology-on mi è venuta in mente una "dimostrazione" che usa cose che so solo per sentito dire. Cioè l'unica cosa che conosco in quello che sto per dire e che so dimostrare è che una superficie di Riemann compatta ha solo funzioni olomorfe costanti in C. Quindi quello che volevo sapere è vale la stessa cosa per una varietà complessa compatta di dimensione n qualunque? Nel caso in cui vale io avevo in mente che quando una superficie algebrica M,come quella in discussione,è anche liscia(nel senso delle ipotesi della mappa implicita),allora gli posso dare una struttura complessa e supponendo che vale anche questo risultato"ogni funzione olomorfa da \mathbb{C}^n in un altra varietà complessa induce una funzione olomorfa tramite la restrizione a M", allora basterebbe dire che essendo ogni polinomio in n variabili olomorfo,allora le proiezioni pure lo sono, e usando il risultato di prima devono essere sempre costanti su M. Quindi M è un punto.
Nel caso in cui tutto questo sia giusto,la prima domanda,volevo sapere se c'è un modo semplice per aggiustare il ragionamento o ridurlo a questo caso qua,nel caso in cui non si possa applicare il teorema della mappa implicita per dare la struttura complessa.
Sono molto ignorante di queste cose(cioè essenzialmente le uniche cose di cui non so per sentito dire sono quelle ad una variabile),gli altri sono collage di cose per sentito dire, quindi chiedo... :bye:
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Messaggioda killing_buddha il mer 21 mar 2012, 12:50

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Messaggioda Carlein il mer 21 mar 2012, 13:23

Grazie della reference kill. :)
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Messaggioda ma_go il mer 21 mar 2012, 14:04

[OT]non capisco come mai questo thread sia nel limbo e non in geometria. mi sembra una domanda onesta...[/OT]
un po' più a tema, non mi pare che il link di kb risponda alla tua domanda (ma magari mi sbaglio).

c'è del vero in ciò che chiedi, Carlein: ogni varietà complessa compatta non ha funzioni olomorfe non costanti. questo segue dal teorema della mappa aperta, esattamente come nel caso di dimensione (complessa) 1: se hai una mappa \mathbb{C}^n\supset\Omega\to\mathbb{C} non costante, allora c'è una "fetta" \mathbb{C}z+z_0\cap\Omega su cui non è costante, e puoi applicare il teorema della mappa aperta (in una variabile) lì.

in quanto all'applicabilità di questo risultato alla problema in questione, è un po' più sottile, e sinceramente non saprei come sistemarla precisamente.. penso che si entri nel reame della risoluzione di singolarità: "sopra" la tua varietà affine X vorresti una varietà complessa Y (astratta, magari) non-singolare, con una mappa suriettiva "decente" da Y a X, e vorresti poter sollevare le proiezioni (ristrette ad X) ad Y. non ho idea se questo sia davvero fattibile nei termini che ho detto, ma non vedo alternative "ovvie".
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Messaggioda Carlein il mer 21 mar 2012, 15:34

ma_go ha scritto:[OT]non capisco come mai questo thread sia nel limbo e non in geometria. mi sembra una domanda onesta...[/OT]
un po' più a tema, non mi pare che il link di kb risponda alla tua domanda (ma magari mi sbaglio).

Ah no è colpa mia che non pensavo potesse andare bene in Geometria, :blush: , se volete spostate pure. Per il link,si nemmeno io direi che dà una risposta,l'ho ringraziato perchè l'ho trovato comunque interessante :)
ma_go ha scritto:c'è del vero in ciò che chiedi, Carlein: ogni varietà complessa compatta non ha funzioni olomorfe non costanti. questo segue dal teorema della mappa aperta, esattamente come nel caso di dimensione (complessa) 1: se hai una mappa \mathbb{C}^n\supset\Omega\to\mathbb{C} non costante, allora c'è una "fetta" \mathbb{C}z+z_0\cap\Omega su cui non è costante, e puoi applicare il teorema della mappa aperta (in una variabile) lì.

in quanto all'applicabilità di questo risultato alla problema in questione, è un po' più sottile, e sinceramente non saprei come sistemarla precisamente.. penso che si entri nel reame della risoluzione di singolarità: "sopra" la tua varietà affine X vorresti una varietà complessa Y (astratta, magari) non-singolare, con una mappa suriettiva "decente" da Y a X, e vorresti poter sollevare le proiezioni (ristrette ad X) ad Y. non ho idea se questo sia davvero fattibile nei termini che ho detto, ma non vedo alternative "ovvie".

Grazie della spiegazione. Si era proprio su una costruzione di una Y del tuo post che sarei interessato. :bye:
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Messaggioda killing_buddha il mer 21 mar 2012, 16:16

:D eh, oh, cosa volete: ho detto che potrebbe piacergli, mica che era la verita' rivelata! Una googlata o due ha mostrato che, in una opportuna metrica, quel thread e' il piu' vicino alla questione :mrgreen:
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