Su un teorema di Whitney

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Su un teorema di Whitney

Messaggioda maurer il lun 6 giu 2011, 16:06

Uno dei miei supereroi preferiti ha dimostrato una volta un teorema che può definirsi striking. Voglio spendere due righe per analizzarlo e vedere quanto in generale ci si può spingere.

Hassler Whitney ha scritto:Un insieme C \subset \mathbb R^n è chiuso se e solo se è il luogo degli zeri di una funzione continua.


In quello che segue mostrerò che, in effetti, di \mathbb R^n ci interessa solo la metrizzabilità. Ricordo innanzi tutto una definizione.

Definizione. Sia (X,\tau) uno spazio topologico. Diciamo che un sottoinsieme S \subset X è un G_\delta-insieme se è possibile scrivere
    S = \bigcap_{n \in \mathbb N} A_n, \quad A_n \in \tau
ossia se S è intersezione numerabile di aperti.

Definizione. Diciamo che uno spazio X è \sigma-localmente finito se ammette una base di aperti nella forma \bigcup_{n \in \mathbb N} \mathcal B_n dove ogni famiglia \mathcal B_n è localmente finita.

Teorema (di Whitney). Sia (X,\tau) uno spazio topologico normale e sia C un chiuso di X che sia anche un G_\delta-insieme. Allora esiste una funzione continua f : X \to [0,1] tale che f(x) = 0 se x \in C e f(x) > 0 se x \not \in C.

Proof. Scriviamo C = \bigcap_{n \in \mathbb N} U_n, con U_n aperto. Allora per ogni n \in \mathbb N possiamo trovare, utilizzando il Lemma di Urysohn una funzione f_i: X \to [0,1] tale che f(x) = 1 se x \in C e f(x) = 0 se x \not \in U_n. Definiamo f(x) = \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{f_n(x)}{2^n}. La convergenza è ovvia, per confronto diretto con la serie geometrica. Di più, è uniforme e questo basta per concludere la continuità di f. Mostriamo che f ha anche le proprietà volute: se x \in C allora certamente f(x) = 0 perché f_n(x) = 0 per ogni n \in \mathbb N. D'altra parte se x \not \in C allora esiste almeno un intero n \in \mathbb N tale che f_n(x) > 0; siccome la serie è a termini positivi, segue che f(x) > 0. Pertanto otteniamo la tesi. \square

Proposizione. Sia (X,\tau) uno spazio topologico metrizzabile. Allora ogni chiuso è un G_\delta-insieme.
Proof. Sia d(\cdot,\cdot) una metrica su X che induce la topologia \tau. Sia S un sottoinsieme di X. Definiamo per ogni \epsilon > 0 l'intorno di raggio \epsilon di S come U(S,\epsilon) = \{x \in X \mid \exists y \in S ,\: d(x,y) < \epsilon\}. Banalmente questo insieme è aperto. Proviamo che se C è un chiuso allora
\displaystyle C = \bigcap_{n \in \mathbb N} U\left(C, \frac{1}{n} \right)
L'inclusione \subset è scontata; sia x \in \bigcap_{n \in \mathbb N} U \left(C, \frac{1}{n} \right). Allora per ogni \epsilon > 0 è possibile trovare un y \in C tale che d(y,x) < \epsilon, ossia d(x,C) = 0. Ma allora, essendo C chiuso, necessariamente x \in C. \square

Corollario. In uno spazio topologico metrizzabile un insieme è chiuso se e solo se è il luogo degli zeri di una funzione continua.

Corollario. In \mathbb R^n un insieme è chiuso se e solo se è il luogo degli zeri di una funzione continua.

Question. Si può trovare un chiuso in uno spazio non metrizzabile che non sia l'insieme degli zeri di una qualche funzione continua?
Je n'ai jamais compris qu'on se rassasiât d'un être...
maurer
 
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