Topologia Generale: estensione di uno spazio topologico mediante un punto

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Topologia Generale: estensione di uno spazio topologico mediante un punto

Messaggioda maurer il mar 28 set 2010, 12:25

Definizione. Siano (S,\sigma), (T,\tau) due spazi topologici. Diciamo che (T,\tau) è un'estensione topologica di (S,\sigma) se:
  • S \subset T;
  • la topologia indotta da \tau in S coincide con \sigma

Siamo interessati a studiare la natura delle possibili estensioni di (S,\sigma) mediante un singolo punto. Questo condurrà in modo naturale alla compattificazione di Alexandrov.

Teorema. Sia (S,\sigma) uno spazio topologico, sia t \not \in S e sia T = S \cup \{t\}. Allora un'estensione di S mediante t è univocamente individuata se e solo se sono assegnati:
    1. un aperto \stackrel{\circ}{S} \in \sigma che coincida con l'interno di S in T;
    2. un filtro degli intorni \mathcal{U}_t del punto t tale che:
      a) il filtro traccia \mathcal{U}_t^* su S sia aperto (ossia ammetta una base formata da aperti);
      b) indicata con \mathcal{W}_t la famiglia definita come \mathcal{W}_t := \{A \cup \{t\}\mid A \in \sigma, A \not \subseteq \stackrel{\circ}{S} \}, valgano le inclusioni \hat{t} \le \mathcal{U}_t \le \mathcal{W}_t (dove con \hat{t} indico il filtro principale generato da \{t\} in T).
Proof. Supponiamo che (T,\tau) sia un'estensione topologica di (S,\sigma). Allora è ovviamente individuato un aperto \stackrel{\circ}{S} di S. Inoltre ovviamente \stackrel{\circ}{S} \subseteq S ed inoltre l'insieme \stackrel{\circ}{S}  = \stackrel{\circ}{S} \cap S è un aperto nella topologia indotta di S, ossia in \sigma. Consideriamo poi il filtro degli intorni \mathcal{U}_t del punto t. Allora l'insieme \{U_i\}_{i \in I} degli intorni aperti di t è ovviamente una base di \mathcal{U}_t e pertanto \{U_i \cap S\}_{i \in I} è una base del filtro traccia \mathcal{U}_t^* su S. Ma essendo gli U_i aperti, allora U_i \cap S sono insiemi aperti nella topologia indotta di S e quindi il filtro traccia risulta un filtro aperto. Infine, la relazione \hat{t} \le \mathcal{U}_t è banalmente verificata, in quanto \hat{t} è il più fine filtro contenente t. D'altra parte, se A \in \sigma e A \not \subset \stackrel{\circ}{S}, allora posto A' = A \cup \{t\} dobbiamo necessariamente concludere che A' \in \mathcal{U}_t. Infatti, essendo A = A' \cap S \in \sigma, allora A è un aperto della topologia indotta. Tuttavia, siccome A \subseteq S, non può essere aperto in T, perché altrimenti si avrebbe A \subseteq \stackrel{\circ}{S}, contro l'ipotesi assunta inizialmente. Quindi deve scriversi A = B \cap S, dove B è un aperto di T non contenuto in S. L'unica opzione possibile è B = A \cup \{t\} = A', da cui A' \in \mathcal{U}_t.

Dimostriamo ora il viceversa. Siano quindi assegnati \stackrel{\circ}{S} aperto di S e una famiglia di intorni \mathcal{U}_t di t soddisfacente alle ipotesi a) e b). Definiamo:
    1. \mathcal{A}_1 := \{A \in \sigma \mid A \subseteq \stackrel{\circ}{S}\};
    2. \mathcal{A}_2 := \{U \in \mathcal{U}_t \mid U\cap S \in \sigma\}
e sia \mathcal{A} = \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2. Proviamo che \mathcal{A} è una topologia su T che estende la topologia di S. Per prima cosa verifichiamo che si tratti effettivamente di una topologia aperta.
    1. ovviamente \emptyset \in \mathcal{A}_1 \subseteq \mathcal{A}, mentre T\in \mathcal{U}_t e ovviamente T \cap S = S \in \sigma, sicché T \in \mathcal{A}_2 \subseteq \mathcal{A};
    2. chiusura rispetto all'intersezione finita. Siano A_1, A_2 \in \mathcal{A}. Se A_1,A_2 \in \mathcal{A}_1 allora palesemente A_1 \cap A_2 \in \mathcal{A}_1 \subseteq \mathcal{A}; analogamente se A_1, A_2 \in \mathcal{A}_2 allora A_1 \cap A_2 \in \mathcal{A}_2 \subseteq \mathcal{A}. Quindi l'unico caso che bisogna trattare è quello in cui, ad esempio, A_1 \in \mathcal{A}_1 e A_2 \in \mathcal{A}_2. In tal caso A_1 \cap A_2 = (A_1 \cap S) \cap A_2 = A_1 \cap (S \cap A_2) = A_1 \cap A'_2 \in \mathcal{A}_1 \subseteq \mathcal{A}, per definizione di \mathcal{A}_2;
    3. chiusura rispetto all'unione. Sia \{A_i\}_{i \in I} una famiglia di aperti di S; in virtù della proprietà commutativa generalizzata di cui gode l'unione insiemistica, è sempre possibile ricondursi all'unione di due insiemi A_1 \cup A_2, tali che A_1 \in \mathcal{A}_1 e A_2 \in \mathcal{A}_2. Evidentemente, infatti, basterà raggruppare tutti gli elementi di \mathcal{A}_1 e tutti quelli appartenenti a \mathcal{A}_2. Ora, uno dei due insiemi è vuoto (cioè se tutti gli elementi della famiglia iniziale appartengono o a \mathcal{A}_1 oppure a \mathcal{A}_2), allora la tesi è banale. Supponiamo che non sia così. Allora si ha che A_2 \subseteq A_1 \cup A_2 e quindi A_1 \cup A_2 \in \mathcal{U}_t; d'altra parte (A_1 \cup A_2) \cap S = A_1 \cup (A_2 \cap S) \in \sigma e quindi A_1 \cup A_2 \in \mathcal{A}_2.
Quindi abbiamo provato che \mathcal{A} è una topologia per T; inoltre \mathcal{A}_1 e \mathcal{A}_2 formano una partizione non banale di \mathcal{A}. Ora si tratta di verificare che è effettivamente l'estensione cercata di (S,\sigma). Denotiamo con \sigma' la topologia indotta da T su S.
    1. \sigma \le \sigma'. Sia A' \in \sigma'. Allora A' = A \cap S, dove A \in \mathcal{A}. Se A \in \mathcal{A}_1 allora A' = A \in \sigma; supponiamo A \in \mathcal{A}_2. Allora, per definizione di \mathcal{A}_2 segue che A' = A \cap S \in \sigma e quindi \sigma \le \sigma';
    2. \sigma' \le \sigma. Sia A \in \sigma. Se A \subseteq \stackrel{\circ}{S} allora A \in \mathcal{A}_1 e quindi A \in \mathcal{A}, da cui A \in \sigma'. Supponiamo ora che A \not \subset \stackrel{\circ}{S} e consideriamo A' = A \cup \{t\}. Allora A' \in \mathcal{W}_t e quindi, per ipotesi, A' \in \mathcal{U}_t, da cui A' \in \mathcal{A}_2 e pertanto A = A' \cap S \in \sigma'.
Quindi la topologia indotta coincide effettivamente con la topologia presente inizialmente su S. Rimane solo da provare che \stackrel{\circ}{S} è effettivamente l'interno di S in T e che \mathcal{U}_t è effettivamente la famiglia degli intorni di t. Ovviamente \stackrel{\circ}{S} \subseteq S; d'altra parte se A \in \mathcal{A} è un aperto di T contenuto in S, allora necessariamente A \not \in \mathcal{A}_2 e quindi A \in \mathcal{A}_1, ossia A \subseteq \stackrel{\circ}{S}; quindi, essendo il più grande aperto contenuto in S, segue che \stackrel{\circ}{S} è proprio l'interno di S in T.
Per quanto riguarda l'altro punto, sia \mathcal{F}_t il filtro degli intorni di t in T. Allora una sua base è formata dagli intorni aperti di t, che quindi devono essere necessariamente elementi di \mathcal{A}_2. D'altra parte, ogni elemento di \mathcal{A}_2 è un intorno di t, in quanto aperto di T e quindi è pure un elemento di \mathcal{F}_t. Segue che \mathcal{F}_t = \mathcal{U}_t, perché questi filtri condividono la stessa base. \square.

Esempio 1. Sia (S,\sigma) uno spazio topologico con S insieme infinito e sia t \not \in S. Assegniamo come interno di S in T = S \cup \{t\} l'insieme S stesso. Definiamo poi \mathcal{U}_t come il completamento della famiglia \{A \cup \{t\} \mid \mbox{A e' il complementare di un insieme finito}\}, la quale è palesemente filtrante decrescente e quindi base di una famiglia di intorni. Le condizioni tecniche a) e b) del teorema sono banalmente rispettate e quindi è univocamente determinata una topologia \tau che estende \sigma in cui S è l'interno di S e \mathcal{U}_t è il filtro degli intorni di t. Studiamo questo spazio topologico. Dal momento che S è infinito, allora \emptyset non è il complementare di un insieme finito e quindi \{t\} non è un intorno di t. Segue che ogni intorno di t contiene almeno un punto di S e quindi t è un punto di accumulazione di S.

Nota. Fissiamo uno spazio topologico (S,\sigma) e sia t \not \in S; poniamo T = S \cup \{t\}. E' assai interessante studiare la natura del sottoinsieme del reticolo delle parti di T formato da tutte le estensioni topologiche di S: si perviene, infatti, a risultati estremamente interessanti. Se prossimamente avrò tempo, aggiungerò ulteriori post a riguardo di questo argomento.

Nota off-topic. Forse a Feanor ricorderà un pomeriggio buttato via :mrgreen:
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La compattificazione di Alexandrov

Messaggioda maurer il ven 27 mag 2011, 22:50

In questo post voglio semplicemente ricavare il classico teorema di compattificazione mediante un punto.
Inizio richiamando una definizione che la maggior parte di voi conoscerà molto bene.

Definizione. Sia (X,\sigma) uno spazio topologico. Diciamo che X è uno spazio localmente compatto se per ogni x \in X esiste un intorno U di x che sia compatto.

Proposizione. Sia (X,\sigma) uno spazio topologico localmente compatto. Allora ogni punto di X possiede una base di intorni formata da compatti.

Proof. Esercizio!

Definizione. Siano (X,\sigma), (Y,\tau) due spazi topologici. Diciamo che (Y,\tau) è una compattificazione di (X,\sigma) se
  • (Y,\tau) è un'estensione topologica di (X,\sigma);
  • (Y,\tau) è uno spazio di Hausdorff compatto.
  • \overline{X} = Y

Il seguente teorema individua una caratterizzazione degli spazi topologici di Hausdorff localmente compatti in termini di esistenza di una compattificazione molto particolare: la compattificazione mediante un punto.

Teorema (Compattificazione di Alexandrov). Sia (X,\sigma) uno spazio topologico. X è uno spazio di Hausdorff localmente compatto se e solo se esiste uno spazio topologico (Y,\tau) tale che
    1. (Y,\tau) sia una compattificazione di (X,\sigma);
    2. Y \setminus X consista di un solo punto.
Inoltre se (Y,\tau) e (Y',\tau') sono due spazi topologici soddisfacenti ad entrambe queste condizioni, allora esiste un omeomorfismo del primo nel secondo che coincide con la mappa identica se ristretto ad X.

Proof. Supponiamo innanzi tutto che una simile estensione topologica esista e poniamo \{t\} = Y \setminus X. Innanzi tutto, X è sottospazio di uno spazio di Hausdorff e quindi è lui stesso di Hausdorff. Scegliamo adesso x \in X; siccome Y è di Hausdorff possiamo scegliere due intorni aperti U,V di x e t rispettivamente tali che U \cap V = \emptyset. Ora C = Y \setminus V è un chiuso in Y e quindi è compatto; ma U \subset C, sicché C risulta essere un intorno di x. Pertanto (X,\sigma) è uno spazio topologico localmente compatto.
Supponiamo adesso che (X,\sigma) sia uno spazio topologico di Hausdorff e localmente compatto. Sia \infty \not \in X (utilizziamo questa notazione che aiuta l'immaginazione) e sia Y = X \cup \{\infty\}. Assegniamo come interno di X in Y l'insieme X stesso e definiamo \mathcal U_\infty come il completamento della famiglia \mathcal F = \{A \cup \{t\} \mid X \setminus A \text{ \`e compatto in } X\}. L'ipotesi di locale compattezza fa sì che \mathcal F non sia vuota; inoltre osservo esplicitamente che se A,B \subset S sono entrambi complementari di sottospazi compatti di X allora X \setminus (A \cap B) = (X \setminus A) \cup (X \setminus B) e siccome l'unione di un numero finito di compatti è ancora un compatto, segue che (A \cap B) \cup \{\infty\} \in \mathcal F; questo dimostra che \mathcal F è una famiglia filtrante decrescente e quindi è effettivamente la base di un filtro. Se A \cup \{\infty\} \in \mathcal U_\infty allora, per definizione, S \setminus A è compatto e pertanto, sfruttando il fatto che X è di Hausdorff, chiuso. Segue che \mathcal U_\infty^* è aperto. La relazione \widehat{\{\infty\}} \le \mathcal U_\infty è ovvia, così come la relazione \mathcal U_\infty \le \mathcal W_\infty (la famiglia \mathcal W_\infty è vuota, visto che l'interno di X coincide con X stesso). Sono allora soddisfatte le ipotesi del teorema del post precedente e quindi è definita un'unica topologia \tau tale che (Y,\tau) sia un'estensione topologica di (X,\sigma). Bisogna solo mostrare che Y è una compattificazione di X, ossia che è a sua volta uno spazio di Hausdorff e compatto.
    a) Compattezza. sia \{A_i\}_{i \in I un ricoprimento aperto di Y. E' un fatto standard che non è restrittivo supporre che tutti questi aperti facciano parte di una data base di aperti per (Y,\tau); in particolare, possiamo supporre tranquillamente che tutti gli aperti che contengono \infty appartengano a \mathcal F. Ora, dovrà esistere un indice j \in I tale che \infty \in A_j; scriviamo A_j = A_j' \cup \{\infty\}. Siccome A_j \in \mathcal F segue che C = X \setminus A_j' è un compatto; la famiglia \{A_i \cap C\}_{i \in I} è un ricoprimento aperto di C; possiamo allora estrarne un sottoricoprimento finito; aggiungendo a questo sottoricoprimento l'insieme A_j otteniamo ancora una famiglia finita di aperti di Y che lo ricoprono. Quindi (Y,\tau) è un compatto.
    b) Lo spazio è di Hausdorff. Evidentemente basta controllare che scelto comunque x \in X esistono due aperti disgiunti U,V \in \tau tali che x \in U e \infty \in V. Siccome X è localmente compatto, possiamo trovare un intorno compatto U di x; ma allora V := (X \setminus U) \cup \{\infty\} \in \mathcal F \subset \mathcal U_\infty e pertanto V è un intorno di \infty in (Y,\tau); inoltre, U \cap V = \emptyset. Pertanto Y è di Hausdorff.
Infine, è ovvio che la chiusura di X sia Y.
Rimane solo più da verificare l'unicità. Siano (Y,\tau) e (Y',\tau') due spazi topologici soddisfacenti alle richieste del teorema; poniamo Y = X \cup \{t\} e Y' = X \cup \{t'\}. Introduciamo la funzione f : Y \to Y' definita da f(x) = x se x \in X e f(t) = t'. Chiaramente f è biunivoca; denotiamo con g : Y' \to Y la sua inversa. Si tratta di mostrare che queste funzioni sono entrambe continue. Per l'evidente simmetria, sarà sufficiente mostrare solo che f è continua. Osserviamo inizialmente che siccome questi spazi sono di Hausdorff allora soddisfano anche T1 e quindi i punti sono chiusi dello spazio; in particolare, X è aperto in entrambi gli spazi topologici. Sia allora A' un aperto in (Y',\tau'). Se A' \subset X allora A' \in \sigma e f^{-1}(A') = A' \in \sigma, sicché A' risulta aperto pure in (Y,\tau) (perché X è aperto in Y). Se invece t' \in A' allora C = Y' \setminus A' è contenuto in X ed è chiuso in Y', ossia è un compatto. Ma siccome la topologia indotta in X è esattamente \sigma, segue che C è compatto in X. Di conseguenza C sarà un compatto anche in Y e quindi, essendo quest'ultimo uno spazio di Hausdorff, C è un chiuso di Y. Ora è chiaro che f^{-1}(Y' \setminus A') = C, da cui f^{-1}(A') = Y \setminus C e quest'ultimo insieme è un aperto. Pertanto f è una funzione continua e, quindi, un omeomorfismo. \square
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