Trasporto parallelo per le superfici riemanniane

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Messaggioda WiseFool il ven 18 dic 2009, 15:39

Hmm onestamente non ne ho idea: come ti ho detto, quella non è la definizione generale di trasporto parallelo, è più che altro un esempio che si fa per far capire cosa si sta definendo; potresti provare su qualche libro di geometria differenziale che tratti solo curve e superfici (tipo il do Carmo), su cui forse ci può essere qualcosa. Comunque, voglio dire, l'argomento stesso non si presta a un grande sviluppo: senza la nozione di connessione riemanniana, senza il formalismo tensoriale e tutto il resto non credo si riesca a dimostrare alcunché.
Se provi a dire cosa ti serve sapere, magari possiamo aiutarti.
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Idea intuitiva

Messaggioda gianni80 il ven 18 dic 2009, 20:40

Per trasporto parallelo (t.p.) su una superficie si vuole intendere l'operazione di muovere il vettore in modo che esso mantenga
il più possibile la stessa direzione (anche su una superficie curva).

Quello che in sostanza cerco è una definizione che possa rendere conto della suddetta idea prima di tutto sulle superfici
immerse in \mathbb{R}^3, da cui poi segue la generalizzazione nelle varietà.
Nei testi si trova la definizione di t.p. tramite la derivata covariante cioè la componente tangenziale della derivata del campo di vettori,
il fatto è che non vedo come quest'ultima definizione renda conto dell'idea intuitiva di t.p., forse mi sfugge qualcosa. :unsure:

Spero di essere stato chiaro, attendo vostri chiarimenti.
gianni80
 
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Derivate covarianti e nozioni ingenue

Messaggioda WiseFool il ven 18 dic 2009, 23:42

Beh, la derivata covariante mi sembra abbastanza consona come risposta. Vediamo se mi riesce di dirti perché.

Abbiamo una varietà differenziabile M immersa (embedded) in qualche \mathbb{R}^n e su questa varietà fissiamo un campo di vettori X\in\mathfrak{X}(M).

Problema 1 Come posso paragonare i vettori X_p e X_q per due punti p,q\in M, nel caso in cui M sia una superficie? Ad esempio dire se sono molto o poco diversi?

Osservazioni Quello che mi serve è un modo di confrontare i due spazi vettoriali T_pM e T_qM in cui vivono i due vettori, quindi mi serve di definire un modo di "portare" i vettori da T_pM a T_qM. Facciamoci un esempio pratico: consideriamo S^2\subset\mathbb{R}^3, ovvero la sfera unitaria, che è dunque definita dall'equazione x^2+y^2+z^2-1=0; in ogni punto p\in S^2 il piano tangente è naturalmente identificato con il sottospazio vettoriale \langle p\rangle^\perp\subset\mathbb{R}^3 ed è generato, ad esempio, dalle derivazioni

    \displaystyle{z\frac{\partial}{\partial x}+z\frac{\partial}{\partial y}-(x+y)\frac{\partial}{\partial z} \qquad(z+y)\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial y}-x\frac{\partial}{\partial z}}
Ora, consideriamo due punti molto vicini tra loro e consideriamo una curva \sigma:[-2c,2c]\to M di minima lunghezza (quindi un arco di cerchio massimo), parametrizzata rispetto alla lunghezza d'arco e tale che \sigma(-c)=p, \sigma(c)=q; ovviamente, vorremmo dire che i due vettori \sigma'(-c)\in T_pM e \sigma'(c)\in T_qM sono paralleli, in quanto sono i vettori tangenti ad una curva che, sulla sfera, equivale ad una retta nel piano percorsa a velocità costante (ovvero un moto rettilineo uniforme, quindi una cosa in cui il vettore velocità è sempre "paralello a se stesso relativamente all'ambiente"). Ok, ora sono riuscito a portare un vettore da T_pM a T_qM.

A questo punto mi ricordo che sulla sfera ho anche una metrica, ovvero su ogni tangente ho un prodotto scalare (che mi è già servito per dire cos'è una curva di lunghezza minima), quindi ho i concetti di angolo tra vettori e di orientazione. Mi basta portare i vettori che hanno la stessa norma di \sigma'(-c) in vettori che hanno la stessa norma di \sigma'(c) da un tangente all'altro di modo che l'angolo rispetto a \sigma'(-c) in T_pM sia lo stesso dell'angolo tra il vettore immagine e \sigma'(c) in T_qM e poi si estende per linearità.

Contaccio A questo punto, siamo espliciti: prendiamo la curva

    \sigma(t)=(\cos t, 0, \sin t)
Il suo vettore tangente in p=(1,0,0) è

    \sigma'(0)=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}}
mentre in q=(0,0,1) è

    \sigma'(\pi/2)=\displaystyle{-\frac{\partial}{\partial x}}
Basi di T_pS^2 e T_qS^2 sono, ad esempio, \left\{ \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right\} e \left\{\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}\right\}, e sono anche basi ortonormali rispetto al prodotto scalare dei due tangenti (che è poi quello indotto dall'immersione nello spazio euclideo). Quindi la mappa tra T_pS^2 e T_qS^2 che otteniamo dalla costruzione precedente è F:T_pS^2\to T_qS^2 data da

  1. F(\partial/\partial z)=-\partial/\partial x
  2. F(\partial/\partial y)=\partial/\partial y
Ora, invece, proviamo a seguire queste due curve:
\sigma_1(t)=(\cos t, \sin t,0) da p a p'=\sigma(\pi/2)=(0,1,0) e poi \sigma_2 (t)=(0,\cos t, \sin t) da p' a q. Avremo (conti come esercizio al lettore!) due mappe di trasporto

    F_1:T_pS^2\to T_{p'}S^2;\qquad F_2:T_{p'}S^2\to T_qS^2
che, composte, ci danno una mappa G:T_pS^2\to T_qS^2 definita da

  1. G(\partial/\partial z)=-\partial/\partial y
  2. G(\partial/\partial y)=-\partial/\partial x
che non coincide con quella trovata prima...

Riflessione. non ha senso confrontare due piani tangenti in senso assoluto; lo si deve fare relativamente ad una curva che vada dal punto in cui c'è uno al punto in cui c'è altro. Se tale curva è una curva di minima lunghezza, abbiamo la seguente "interpretazione fisica": il modo lungo la curva di un corpo su cui non agiscono altre forze che il vincolo a rimanere sulla varietà è l'equivalente del moto rettilineo uniforme sul piano; questo permette di dire che i vettori velocità devono essere in ogni punto "uguali" e quindi di trasportare tale vettore velocità in modo "parallelo" in ogni piano tangente. Se poi la varietà è una superficie, possiamo misurare, grazie al prodotto scalare della metrica, gli angoli e definire un'isometria da un tangente all'altro (l'idea è che l'osservatore vincolato su M che si muove di moto "rettilineo uniforme relativo ad M" deve sempre vedere un vettore nella stessa posizione rispetto al proprio moto, per dire che questo si muove in maniera paralella).
Tale isometria si chiama trasporto parallelo lungo una curva geodetica (ovvero di minima lunghezza).

Problema 2. E se non ho una superficie, ma, come detto all'inizio, una varietà generica?

Idea ovvia. Beh, se riesco, data una curva di minima lunghezza \sigma:(-2c,2c)\to M, a definire cosa vuol dire trasportare parallelamente un 2-piano da T_pM a T_qM ho finito, perché poi mi riduco al concetto di trasporto parallelo tra tangenti di dimensione 2, dove norma e angolo mi bastano.

Idea tutt'altro che ovvia. Abbiamo la nostra curva \sigma e un vettore X_p\in T_pM che non è tangente alla curva (altrimenti sappiamo già come trasportarlo! va nel tangente alla curva nel punto q, per l'opportuno multiplo scalare). Sia V_p=\mathrm{span}\{\sigma'(-c), X_p\}; consideriamo tutte le curve di lunghezza minima che escono da p e hanno vettore tangente in p contenuto in V_p. L'insieme di queste geodetiche è una superficie regolare S dentro M, almeno in un intorno del punto p. Fissiamo un reale positivo \epsilon e consideriamo il punto p_1=\sigma(-c+\epsilon); definiamo V_{p_1}=T_{p_1}S e consideriamo tutte le curve di lunghezza minima che escono da p_1 e hanno vettore tangente in p_1 contenuto in V_{p_1}. Osserviamo che la nostra geodetica iniziale \sigma è ancora tra queste, che come prima formano, vicino al punto p_1 una superficie regolare S_1. Ora proseguiamo lungo tale geodetica al punto p_2=\sigma(-c+2\epsilon) e ripetiamo la costruzione: prendiamo il piano V_{p_2}=T_{p_2}S_1 e consideriamo la superficie S_2 fatta da tutte le geodetiche che escono da p_2 ed hanno vettore tangente in V_{p_2} e così via.
In questo modo per ogni punto della forma p_n=\sigma(-c+n\epsilon) assegnamo un 2-piano V_{p_n} dentro lo spazio tangente T_{p_n}M; ad un punto \sigma(t), associamo il 2-piano V_{p_i} se -c+(i-1)\epsilon<t<-c+i\epsilon. Nel limite \epsilon\to 0 questa distribuzione di 2-piani tende ad un limite definito, che definiamo essere il trasporto parallelo di V_p lungo \sigma.

Punto spinoso. Il fatto che il limite della distribuzione esista è tutt'altro che ovvio e va verificato, conti alla mano. Esercizio per il lettore volenteroso.

Conclusione agevole. A questo punto posso trasportare il vettore X_p dicendo che deve sempre stare dentro il trasportato di V_p e lì dentro deve avere modulo costante e fare un angolo costante con la direzione della geodetica (che è contenuta in ogni 2-piano della distribuzione di cui sopra).

Problema 3. E se voglio trasportare un vettore lungo una curva generica?

Estensione tecnica. Una curva generica, abbastanza liscia, si approssima con poligonali geodetiche, quindi il trasporto parallelo lungo una curva generica è dato dal limite dei trasporti paralleli lungo le poligonali geodetiche (anche qui c'è da dimostrare che il limite esiste e così via).

Osservazione brillante. Se volessi definire la derivata di un campo di vettori, che dovrei fare? Beh, la definizione classica

    \displaystyle{\lim_{p&#39;\to p}\frac{X_{p&#39;}-X_p}{|p-p&#39;|}}
ha poco senso perché X_p, X_{p&#39;} vivono in due spazi vettoriali diversi e quindi non posso sottrarli e non ho poi uno spazio per fare il limite. Ma noi abbiamo appena trovato un modo, data una curva, per confrontare i tangenti nei punti della curva!! Quindi, chiamiamo \mathfrak{T}_\sigma^{t,t&#39;}:T_{\sigma(t)}M\to T_{\sigma(t&#39;)}M la mappa data per trasporto parallelo lungo la curva \sigma e scriviamo h(t)=\mathfrak{T}_\sigma^{t,t_0}(X_{\sigma(t)}), ovvero trasportiamo indietro X_{\sigma(t)} fino al tangente in \sigma(t_0); la funzione definita è h:(-2c,2c)\to T_{\sigma(t_0)}M. Definiamo la derivata covariante del campo X lungo la curva \sigma nel punto \sigma(t_0) come il vettore tangente

    \displaystyle\frac{d}{dt}h(t)\bigg|_{t=t_0}}
e indichiamo tale campo di vettori lungo \sigma con \nabla_{\dot{\sigma}} X. Quindi, dato un altro campo Y\in\mathfrak{X}(M), possiamo, per ogni punto p\in M integrare localmente il campo Y e ottenere una curva \sigma:(-\epsilon,\epsilon)\to M che passa per p ed ha come vettore tangente in p il vettore Y_p. Allora definiamo la derivata covariante di X lungo Y nel punto p come la derivata covariante di X lungo \sigma nel punto p. Tale derivata covariante di X lungo Y è allora anch'essa un campo di vettori su M e si indica con \nabla_YX.

Ed il resto è storia. Da qui in poi si possono dimostrare tutte le solite proprietà della derivata covariante, far vedere che rispetta la regola di Leibniz eccetera eccetera ed in particolare che valgono le solite formule che legano i simboli di Christoffel alle derivate delle componenti del tensore metrico.

Era questo che volevi?

PS: se la risposta è sì, la mia è no, non conosco un libro che faccia una cosa del genere, l'ho inventata ora...
Ultima modifica di WiseFool il sab 19 dic 2009, 2:42, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda WiseFool il sab 19 dic 2009, 2:41

Tanto per completezza, una cosa di cui mi ero dimenticato: a questo punto, cosa vuol dire che \nabla_Y X=0 ?

Beh, vuol dire che, per ogni curva integrale \sigma di Y si ha che la funzione h(t)=\mathfrak{T}^{t,t_0}_\sigma(X_{\sigma(t)}) ha derivata nulla in t_0, per ogni t_0; ovvero sia che il trasporto parallelo lungo \sigma di X_p (per un qualche p=\sigma(t_0)) coincide con il campo di vettori X. Ovvero vuol dire che, dati due punti p,q collegati da una curva integrale di Y, il vettore X_q è esattamente quello che si otterrebbe trasportando parallelamente lungo tale curva integrale il vettore X_p.

Quindi, in questo setting è evidente che \nabla_{\dot{\sigma}} X=0 con \sigma una geodetica se e solo se valgono le condizioni di trasporto "intuitive". Per ricavare il caso di una curva generica e la condizione sulla derivata dell'angolo, basta interpretare la curvatura geodetica come segue.

Data una curva \eta:[0,1]\to \mathbb{R}^2 p.r.l.a., scelta una partizione 0=t_0<t_1<\ldots<t_{n-1}<t_n=1 di [0,1], possiamo costruire la poligonale ottenuta incollando i segmenti

    s_i:[t_{i-1},t_i]\to\mathbb{R}^2: t \mapsto [(t-t_{i-1})\eta(t_i)+(t_i-t)\eta(t_{i-1})]/(t_i-t_{i-1})
Ora, consideriamo l'angolo \alpha_i che si forma tra s_i e s_{i+1}; chiamiamo

    v_i=\displaystyle{\frac{\sigma(t_i)-\sigma(t_{i-1})}{|t_i-t_{i-1}|}}
Allora

    \displaystyle{\cos(\alpha_i)=\frac{\|v_i-v_{i+1}\|^2-\|v_i\|^2-\|v_{i+1}\|^2}{2\|v_i\|\cdot \|v_{i+1}\|}}
e dunque

    \displaystyle{2\frac{\cos{\alpha_i}}{t_{i+1}-t_{i-1}}=\frac{\|v_i-v_{i+1}\|^2-\|v_i\|^2-\|v_{i+1}\|^2}{\|v_i\|\cdot\|v_{i+1}\|\cdot(t_{i+1}-t_{i-1})}}
da cui, con il teorema di Lagrange si ottiene che, al limite per partizioni sempre più fini,

    \dot{\theta}(t)=-\kappa(t)
dove \theta(t) è l'angolo che forma, con la tangente alla curva, un generico vettore trasportato parallelamente a se stesso.
Ripetendo lo stesso ragionamento con geodetiche su una superficie, si troverà, nel limite a destra, la curvatura geodetica.
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Messaggioda gianni80 il sab 19 dic 2009, 16:33

La prima definizione di Wiki nasce quindi da questa tua ultima considerazione in cui si approssima la curva con delle geodetiche.
Considerando una superficie in \mathbb{R}^3 parametrizzata, quello che cerco sono i calcoli in questa situazione (quindi senza uso di connessioni ma solo del prodotto scalare in \mathbb{R}) che giustificano l'equivalenza:

    \dot{\theta}(t)=-\kappa_g(t) sse "componente tangenziale della derivata = 0"
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Messaggioda WiseFool il dom 20 dic 2009, 10:15

Prendi il mio primo messaggio e sostituisci a "derivata coviariante" l'espressione "componente tangenziale della derivata".
Tutti i conti funzionano nella stessa maniera...
Ma se non sapevi cos'era una derivata covariante nella connessione di Levi Civita forse potevi dirlo all'inizio, così non buttavo tempo a scrivere i post qui sopra.
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Messaggioda killing_buddha il dom 20 dic 2009, 13:50

Ho trasferito, data la natura degli interventi di WF (che così non ha lavorato per nulla :rotfl: ) il thread in questa sezione. Chiedo pubblicamente consulto agli altri moderatori: lasciamo tutti gli interventi o qualcuno si prende l'onere e l'onore di un lavoro di revisione? :|
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