[Topologia] Fondamentali sulla continuità

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[Topologia] Fondamentali sulla continuità

Messaggioda salvo.tringali il ven 27 nov 2009, 12:04

Mi do la briga di tradurre nel linguaggio comune degli \varepsilon e dei \delta la nozione generale (= topologica) di continuità.

Teorema 1.1. Siano (X_1,\tau_1) e (X_2, \tau_2) degli spazi topologici per cui X_1\times X_2 \ne \emptyset, ed f(\cdot) una funzione (X_1, \tau_1) \to (X_2, \tau_2) (v. nota 1). Allora f(\cdot) è continua sse è continua in ogni p.to di X_1, cioè sse, per ogni x \in X_1 e ogni intorno aperto V \in \tau_2 di f(x), esiste un intorno aperto U \in \tau_1 di x tale che f(U) \subseteq V.

Proof. Supponiamo che f(\cdot) sia continua, in quanto funzione (X, \tau_1) \to (X, \tau_2). Quindi siano x un p.to arbitrario in X_1 e V \in \tau_2 un intorno aperto di f(x). Allora f^{-1}(V) \in \tau_1, poiché la continuità comporta, per definizione, che la retroimmagine di ogni aperto della topologia del codominio sia aperto nella topologia del dominio. Eppure x \in f^{-1}(V), sicché basta assumere U = f^{-1}(V) e osservare che f(f^{-1}(V)) \subseteq V (edit), per concludere che f(\cdot) è continua in x, ergo in ogni p.to di X_1.

Ammettiamo, viceversa, che f(\cdot) sia continua in ogni p.to di X_1, e fissiamo un qualsiasi aperto V \in \tau_2. Poiché f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \tau_1, non è ovviamente lesivo di generalità supporre f^{-1}(V) \ne \emptyset. Allora V è un intorno aperto in \tau_2 di f(x), per ogni x \in f^{-1}(V), per cui è senz'altro determinato un intorno aperto U_x \in \tau_1 di x tale che f(U_x) \subseteq V, dacché, per ipotesi, f(\cdot) è (puntualmente) continua in x. Ossia esiste una famiglia \{U_x: x \in f^{-1}(V)\} di aperti di \tau_1 tali che x \in U_x \subseteq f^{-1}(V), per ogni x \in f^{-1}(V). Dimodoché \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} U_x \subseteq f^{-1}(V) \subseteq\bigcup_{x \in f^{-1}(V)} U_x, ovvero \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} U_x = f^{-1}(V), e perciò f^{-1}(V) è aperto in (X_1, \tau_1), poiché unione di aperti della topologia. Da qui la conclusione che f(\cdot) è continua. []

Teorema 1.2 (o del caro vecchio epsilon). Siano (X_1,\tau_1) uno spazio topologico per cui X_1 \ne \emptyset, (X_2, d_2) uno spazio metrico, \tau_2 la topologia metrica indotta da d_2(\cdot) in X_2 (v. qui, teorema delle topologie metriche), x \in X_1 ed f(\cdot) una funzione (X_1, \tau_1) \to (X_2, \tau_2). Allora f(\cdot) è (puntualmente) continua in x sse, per ogni \varepsilon > 0, esiste un intorno aperto U_\varepsilon \in \tau_1 di x tale che f(U_\varepsilon)\subseteq B_2(f(x), \varepsilon) := \{z \in X_2: d_2(f(x), z) < \varepsilon\}, ovvero d_2(f(x),f(y)) < \varepsilon, per ogni y \in U_\varepsilon.

Proof. Poniamo, in primis, che f(\cdot) sia continua in x. Per ogni \varepsilon > 0, la palla aperta B_2(f(x), \varepsilon) di centro f(x) e raggio \varepsilon in (X_2, d_2) è un intorno aperto di f(x) in (X_2,\tau_2), per definizione stessa della topologia. Dunque, per la continuità di f(\cdot), esiste senz'altro un intorno aperto U_\varepsilon di x in (X_1, \tau_1) t.c. f(U_\varepsilon) \subseteq B_2(f(x), \varepsilon).

Ora, viceversa, ammettiamo che, per ogni \varepsilon > 0, esista un intorno U_\varepsilon \in \tau_1 di x tale che d_2(f(x),f(y)) < \varepsilon, per ogni y \in U_\varepsilon. Quindi sia V un intorno aperto di f(x) in (X_2, \tau_2). Allora, per definizione stessa della topologia \tau_2, esiste una palla aperta B_2 \subseteq V di raggio opportuno r> 0 centrata in un qualche y \in V tale che f(x) \in B_2, e quindi una seconda palla aperta B_2(f(x), \varepsilon) di centro f(x) e raggio \varepsilon > 0 tale che B_2(f(x), \varepsilon) \subseteq B_2 \subseteq V (v. qui, lemma delle palle in capsula). Dalle ipotesi, perciò, è determinato anche un intorno aperto U_x di x in (X_1, \tau_1) tale che f(U_x) \subseteq B_2(f(x), \varepsilon) \subseteq V. Ne segue, vista l'arbitrarietà di scelta di V \in \tau_2 quale intorno di f(x), che f(\cdot) è (puntualmente) continua in x. []

Teorema 1.3 (o del caro vecchio delta). Siano (X_1, d_1) uno spazio metrico, \tau_1 la topologia metrica indotta da d_1(\cdot) in X_1, x un punto in X_1, (X_2, \tau_2) uno spazio topologico per cui X_2 \ne \emptyset, ed f(\cdot) una funzione (X_1, \tau_1) \to (X_2, \tau_2). Allora f(\cdot) è continua in x sse, per ogni intorno aperto V di f(x) in (X_2, \tau_2), esiste \delta_V > 0 per cui f(B_1(x, \delta_V)) \subseteq V, se B_1(x, \delta_V) := \{y \in X_1: d_1(x,y) < \delta_V\}, ovverosia f(y) \in V, per ogni y \in X_1 tale che d_1(x,y) < \delta_V.

Proof. Sia f(\cdot) continua in x. Per ogni intorno aperto V di f(x) in (X_2, \tau_2), allora, esiste un intorno aperto U_V \in \tau_1 di x per cui f(U_V) \subseteq V. Vista la natura della topologia \tau_1, ne segue che deve pur essere determinata una palla aperta B_1 di raggio r > 0, centrata in qualche y \in U_V, t.c. x \in B_1 \subseteq U_V, e quindi una seconda palla aperta B_1(x, \delta) di centro x e raggio \delta_V > 0 per cui B_1(x, \delta_V) \subseteq B_1 \subseteq U_V (v. qui, lemma delle palle in capsula), ovvero f(B_1(x, \delta_V)) \subseteq f(U_V) \subseteq V. Viceversa, poi, che f(\cdot) sia continua, se, per ogni intorno V \in \tau_2 di f(x), esiste \delta_V > 0 per cui f(B_1(x, \delta_V)) \subseteq V, se B_1(x, \delta_V) := \{y \in X_1: d_1(x,y) < \delta_V\}, è un fatto invero di così clamorosa ovvietà, che per decenza e per pudicizia mi risparmio ogni commento. []

Corollario 1.1. Siano (X_1, d_1) e (X_2, d_2) degli spazi metrici; \tau_1 e \tau_2 le topologie indotte, risp., da d_1(\cdot) e d_2(\cdot) in X_1 ed X_2; x un punto in X_1; ed f(\cdot) una funzione (X_1, \tau_1) \to (X_2, \tau_2). Allora f(\cdot) è continua in x sse, per ogni \varepsilon > 0, esiste \delta_\varepsilon > 0 per cui d_2(f(x), f(y)) < \varepsilon, per ogni y \in X_1 t.c. d_1(x,y) < \delta_\varepsilon.

Proof. In base al teorema del caro vecchio epsilon, f(\cdot) è continua in x sse, per ogni \varepsilon > 0, esiste un intorno U_\varepsilon \in \tau_1 di x tale che f(U_\varepsilon) \subseteq B_2(f(x), \varepsilon), dove B_2(f(x), \varepsilon) := \{z \in X_2: d_2(f(x), z) < \varepsilon\}. D'altro canto, qualunque sia \varepsilon > 0, B_2(f(x), \varepsilon) := \{z \in X_2: d_2(f(x), z) < \varepsilon\} è un intorno aperto di f(x) in (X_2, \tau_2), e perciò, in virtù del teorema del caro vecchio delta, esiste \delta_\varepsilon > 0 tale che f(B_1(x, \delta_\epsilon)) \subseteq B_2(f(x), \varepsilon), dove B_1(x, \delta_\epsilon) := \{y \in X_1: d_1(x,y) < \delta_\varepsilon\}. Mettendo insieme i pezzi, ne risulta, in ultima battuta, che f(\cdot) è continua in x sse, per ogni \varepsilon > 0, esiste \delta_\varepsilon > 0 tale che l'immagine tramite f(\cdot) della palla aperta B_1(x, \delta_\epsilon) di centro x e raggio \delta_\varepsilon in (X_1, d_1) è contenuta nella palla aperta B_2(f(x), \epsilon) di centro f(x) e raggio \varepsilon in (X_2, d_2), i.e., sse d_2(f(x), f(y)) < \varepsilon, per ogni y \in X_1 tale che d_1(x,y) < \delta_\varepsilon. E questo è quanto. []

Corollario 1.2. Siano (X_1, \|\cdot\|_1) e (X_2, \|\cdot\|_2) degli spazi normati; \tau_1 e \tau_2 le topologie indotte, risp., da \|\cdot\|_1 e \|\cdot\|_2 in X_1 ed X_2 (v. qui, fatto 2); ed f(\cdot) una funzione (X_1, \tau_1) \to (X_2, \tau_2). Allora f(\cdot) è continua in un punto x \in X_1 sse

    \forall \varepsilon > 0, \exists\;\!\delta_\varepsilon > 0: y \in X_1\ \text{ e }\ \|x-y\|_1 < \delta_\varepsilon \implies \|f(x) - f(y)\|_2 < \varepsilon.
Proof. È sufficiente invocare il corollario 1, dopo aver considerato che la metrica indotta da una norma \|\cdot\| su uno spazio vettoriale X su \mathbb{C} (o su un suo sottocampo) è data, per definizione, dalla funzione X^2 \to \mathbb{R}: (x,y) \mapsto \|x-y\|. []

Note. 1) Se (X_1, \mathcal{O}_1) e (X_2, \mathcal{O}_2) sono degli spazi topologici, scriviamo f(\cdot): (X_1, \mathcal{O}_1) \to (X_2, \mathcal{O}_2) per indicare che f(\cdot) è una funzione X_1 \to X_2, e che, ai fini di qualsivoglia caratterizzazione topologica, \mathcal{O}_1 si deve assumere come topologia di riferimento di X_1, ed \mathcal{O}_2 come topologia di riferimento di X_2.

Vistato da Feanor. --- S
"Che bella storia", disse l'Alchimista. | Whatever can be encoded by syntax shouldn't be left to semantics. | Homomorphisms are to algebraic structures as seminorms are to ordered structures.
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