Legge Forte dei Grandi Numeri

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Legge Forte dei Grandi Numeri

Messaggioda pic il mer 9 nov 2011, 19:57

Teorema Una successione (X_n) di v.a. iid converge q.c. ad una costante \mu se e solo se E(X_0)<\infty, ed in tal caso \mu=E[X_0].

Prima di procedere con la dimostrazione, vediamo un po' di lemmi utili.

Def. Dato q>1 ed n_k una successione di interi positivi, diciamo che n_k e' quasi q-geometrica se n_{k+1}/n_k\to q.

Oss Per ogni q>1 esistono successioni quasi q-geometriche (un esempio e' \lfloor{q^k}\rfloor). Inoltre si vede facile che se n_k e' quasi q-geometrica, allora c'e' una costante C tale che per ogni m valga \displaystyle \sum_m^\infty \frac 1{n_k^2}\le C \frac 1{n_m^2}.

Lemma del bond impazzito Sia data una successione crescente x_n. Se per ogni q>1 esiste una successione n_k quasi q-geometrica tale che x_{n_k}/n_k\to \mu, allora x_n/n\to \mu.
Fisso q>1. Per ogni m esiste k: n_k\le m<n_{k+1} allora \displaystyle \frac{x_{n_k}}{n_{k+1}}\le x_m/m\le \frac{x_{n_{k+1}}}{x_{n_k}} allora \mu/q\leq \liminf x_m/m\leq \limsup x_m/m\leq \mu q. Ora si faccia tendere q\to 1.[]

Lemma del paracetamolo \sum_{i\ge j} i^{-2}\le 2j^{-1}
Con la stima integrale si vede che LHS\leq j^{-1}+j^{-2}...

Lemma della benzodiazepina Se X ha media m e funzione di ripartizione F, allora
(i) EX-1\le\sum_n P(X\ge n) \le EX
(ii) E[X]=\int_0^\infty (1-F)

Per la prima relazione, notare che P(X\ge j)=\sum_{i\ge j} P(i\le X\le i+1) e quindi \sum_j P(X\ge j)= \sum_i iP(i\le X\le i+1) e quest'ultima cosa e' un'approssimazione dell'integrale espresso da EX.
Per la seconda, integrare per parti..

Corollario Se (X_n) e' come nel teorema, la successione (Y_n:=X_n\mathbb I_{\{X_n<n\}}) gode della proprieta' Z_n:=\frac 1n \sum_1^n(X_k-Y_k)\to 0 q.c.
Infatti, \sum P(X_n\ne Y_n)=\sum P(X_n\ge n)\leq E[X_0]<\infty, quindi per Borel Cantelli c'e' un insieme A di misura piena tale che per ogni \omega \in A esiste N_\omega per cui valga X_n(\omega) = Y_n(\omega), n\ge N_\omega e questa condizione implica Z_n(\omega) \to 0.
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Messaggioda pic il gio 10 nov 2011, 14:53

Ora veniamo al teorema, che intendiamo dimostrare per X_n\ge 0 (il risultato si estendera' facilmente nel modo standard, scrivendo X=X_+-X_-). Assumiamo che E(X_0)=\mu<\infty. Definendo Y_i come nel corollario al Lemma della benzodiazepina, ed S_n=\sum_1^n Y_i, basta mostrare che S_n/n\to \mu q.c. Per questo, sia q>1, n_k:=\lfloor q^k\rfloor. Grazie al Lemma del Bond Impazzito, basterebbe avere S_{n_k}/n_k\to \mu q.c.

Valgono i seguenti enuncati:
1. Fissato \epsilon>0, \displaystyle \sum_k P(|S_{n_k}-E(S_{n_k})|/n_k>\epsilon)\leq \frac{C}{\epsilon^2}\sum_i\frac 1{i^2} E(Y_i^2), ove C e' una costante che dipende solo dalla successione (n_k).

2. \sum_i\frac 1{i^2} E(Y_i^2)<\infty.
Sia A_{ij}:=\{j-1\le X_i<j\}. Vale
\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum_1^{\infty} i^{-2}E[Y_i^2] & \displaystyle \le \sum_1^{\infty} i^{-2} \sum_1^iE[(Y_i)\mathbb I_{A_{ij}}] \\
&\displaystyle \le \sum_1^{\infty} i^{-2} \sum_1^ij^2P(A_{ij})\\
&\displaystyle =\sum_{j=1}^\infty j^2\sum_{i\ge j}i^{-2}P(A_{ij}) \\
& \displaystyle \leq \sum_{j=1}^\infty j^22j^{-1}P(A_{ij}) \qquad \text{(Lemma del Paracetamolo)}\\
& \displaystyle = 2\sum_{j=1}^\infty jP(A_{ij})   \leq 2(1+ EX) <\infty\qquad \text{(Lemma della Benzodiazepina)}
\end{array}

Ne consegue che \sum_k P(|S_{n_k}-E(S_{n_k})|/n_k>\epsilon)<\infty e quindi [S_{n_k}-E(S_{n_k})]/n_k\to 0 q.c.

Resta da vedere la convergenza a \mu.
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