Somme dirette di spazi vettoriali

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Somme dirette di spazi vettoriali

Messaggioda Alessandro Marinelli il mer 7 ott 2009, 9:33

Ciao, avrei una domanda sullo spazio T(V). E' la prima volta che incontro questo tipo di spazi e non riesco a capire questa somma diretta infinita. Finora, ho usato solo somme dirette finite tra sottospazi di uno spazio vettoriale. Come è possibile definire una somma diretta tra spazi "diversi", nel senso che non sono tutti sottospazi di uno spazio vettoriale? Cioè, non finisco per agggiungere oggetti tali che la loro addizione l'uno con l'altro non ha senso? Infine, se ho ben capito non è possibile che T(V) abbia elementi di lunghezza "infinita", nel senso di una successione infinita di oggetti ognuno preso da uno dei singoli T p q (V) e "uniti" tutti dal simbolo di prodotto tensoriale, giusto?
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Messaggioda Ani-sama il mer 7 ott 2009, 9:56

La somma diretta è una costruzione che può essere fatta prendendo una famiglia qualunque di spazi vettoriali (o moduli), non solo "internamente" cioè in termini di sottospazi di un dato spazio vettoriale. Data appunto una famiglia qualunque di spazi vettoriali \{V_i \}_{i \in I} con I insieme di indici, considera dapprima il prodotto diretto (cartesiano): \prod_{i \in I} V_i con struttura di spazio vettoriale ovvia, cioè operazioni definite componente per componente. Poi definisci la somma diretta come:

    \displaystyle \bigoplus_{i \in I} V_i = \left\{v=(v_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} V_i : v_j=0 \text{ tranne che per un numero finito di indici $j \in I$}\right\}
Si dimostra (è facile) che con tale definizione si trova un sottospazio vettoriale del prodotto diretto. Osserva che, se si considera una famiglia finita di spazi vettoriali, somma diretta e prodotto diretto coincidono. In generale, però, non è così.

Curiosità (ma in realtà è importante): la somma diretta è coprodotto nella categoria degli spazi vettoriali. Ciò significa che vale la "proprietà universale" espressa dalla commutatività dell'opportuno diagramma (cfr. l'articolo).
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Messaggioda killing_buddha il mer 7 ott 2009, 13:08

Alessandro Marinelli il mer 7 ott 2009, 10:33 ha scritto:

Ani-Sama ha gia' risposto esaurientemente. Per chiarimenti di qualunque tipo, serviti pure della funzionalita' di messaggistica privata del forum (oppure, ma e' una soluzione meno preferibile per un fatto di ordine interno alla comunita', scrivi qui). A presto. :bye:
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