Proprietà del polinomio minimo

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Proprietà del polinomio minimo

Messaggioda andreaandrea il mar 28 feb 2012, 11:16

Ciao, volevo fare una domanda: Sia A una matrice e sia p il suo polinomio minimo.

perchè se p si fattorizza in fattori di primo grado e di molteplicità algebrica 1 allora si può concludere che A è diagonalizzabile ?

perchè se p si fattorizza in fattori di primo grado e di molteplicità algebrica maggiore di 1 allora si può concludere che A non è diagonalizzabile ?

Grazie mille in anticipo
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Messaggioda Zok il mar 28 feb 2012, 20:04

Teorema
Sia C un corpo commutativo (cioè un campo). Una matrice A è simile in C a una matrice in forma diagonale se e solo se ha tutti i suoi autovalori in C e il polinomio minimo si fattorizza in C[X] con fattori lineari distinti (cioè non ha radici multiple).

Dunque fa differenza se consideri come campo \mathbb{R} o \mathbb{C}, riesci a vedere il perchè?
Se sei interessato alla dimostrazione del teorema che ti ho citato, guarda il teorema 3.18 qui.
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Messaggioda pic il mar 28 feb 2012, 21:51

In ogni caso il fatto che dice lui \`e vero, indipendentemente dal corpo. Un fatto carino che risponde alla seconda domanda e' che p(AB)=p(BA).
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Messaggioda andreaandrea il mer 29 feb 2012, 9:15

Grazie mille !!
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Messaggioda Julio14 il gio 1 mar 2012, 21:50

Avevo preparato la risposta due giorni fa, ma poi mi è saltata la connessione... Comunque, con un po' di ritardo, ecco qua.

Per la prima domanda, sia p(x)=\prod_{i=1}^n(x-a_i) con gli a_i distinti. Sia V_i=Ker(A-a_i), chiaramente V_i\cap V_j=\{0\} se i\neq j. È sufficiente dimostrare che \bigoplus_{i=1}^n V_i=V, dove V è lo spazio dove lavoriamo. Infatti, a quel punto, A agisce su ogni V_i come un multiplo dell'identità, quindi basterà prendere delle basi a caso di ogni V_i, metterle insieme, e ottenere così una base diagonale di V. Per fare questo ci viene in aiuto l'algebra.

Sia p_j(x)=\prod_{i\neq j}(x-a_i). K[x] (o, se preferisci, \mathbb{R}[x], ma non cambia nulla) è un PID, quindi (p_j\mid j=1,...,n)=(d) dove (p_j\mid j=1,...,n) è l'ideale generato dai p_j. Ora, \forall j=1,...,n:d\mid p_j, ma i p_j, complessivamente, sono coprimi, quindi, a meno di scalari, d=1. Segue che esistono q_j(x)\in K[x] tali che 1=\sum_{j=1}^nq_j(x)p_j(x). Se non sai cos'è un PID, puoi pensare tutto ciò come un teorema di Bezout generalizzato.

Sia ora v\in V un generico vettore. È vera l'identità v=\sum_{j=1}^nq_j(A)p_j(A)(v). Ma p_j(x)(x-a_j)=p(x) e Ker(p(A))=V, quindi p_j(A)(v)\in Ker(A-a_jI), e poiché i polinomi in A commutano, anche q_j(A)p_j(A)(v)\in Ker(A-a_jI), da cui v\in\bigoplus_{i=1}^n V_i

La seconda domanda ha risposta immediata: due matrici simili annullano gli stessi polinomi (conto facile, il coniugio commuta con somme e prodotti), quindi possiamo supporre A diagonale. A questo punto è evidente che il polinomio minimo di A è \prod_{i=1}^n(x-a_i) dove gli a_i sono elementi distinti sulla diagonale di A.
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