Quozienti del power monoid dei sottoinsiemi non vuoti e limitati di $\mathbf R^n$

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Quozienti del power monoid dei sottoinsiemi non vuoti e limitati di $\mathbf R^n$

Messaggioda salvo.tringali il dom 22 gen 2017, 14:18

Siano $n$ un intero positivo e $\mu$ la misura esterna di Lebesgue su $\mathbf R^n$ (normalizzata dimodoché la misura del cubo $n$-dimensionale $[0,1]^n$ sia eguale a $1$). Quindi sia $\mathcal L(\mathbf R^n)$ il monoide dei sottoinsiemi non vuoti e limitati di $\mathbf R^n$ con l'operazione di set addition $$(X, Y) \mapsto X + Y := \{x+y: x \in X \text{ and }y \in Y\}.$$ Infine, sia $\sim$ la relazione binaria su $\mathcal L(\mathbf R^n)$ definita assumendo $X \sim Y$ sse $\mu_n(X \setminus Y) = \mu_n(Y \setminus X) = 0$. Vi invito a dimostrare che $\sim$ non è una congruenza di monoidi su $\mathcal L(\mathbf R^n)$. Ma cosa succede se $\sim$ è ristretta agli insiemi convessi (risp., compatti) che vivono in $\mathcal L(\mathbf R^n)$?
"Che bella storia", disse l'Alchimista. | Whatever can be encoded by syntax shouldn't be left to semantics. | Homomorphisms are to algebraic structures as seminorms are to ordered structures.
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