CNS per la cancellatività del power monoid ristretto di un monoide

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CNS per la cancellatività del power monoid ristretto di un monoide

Messaggioda salvo.tringali il lun 2 gen 2017, 12:15

Sia $(H, \cdot)$ un monoide moltiplicativo (che, con abuso di notazione, identificherò con il suo ground set $H$, come di consueto...). Indico con $1_H$ l'identità di $H$, e con $\mathcal P_{{\rm fin},0}(H)$ il monoide dei sottoinsiemi finiti $X$ di $H$ tali che $X \cap H^\times \ne \emptyset$, dove $H^\times$ è l'insieme delle unità di $H$ (per definizione, $u \in H$ è un'unità se $uv = vu = 1_H$ per qualche $v \in H$). Provate che $\mathcal P_{{\rm fin},0}(H)$ è un monoide cancellativo (*) sse $H = \{1_H\}$.

(*) Un monoide (moltiplicativo) $K$ si dice cancellativo se non esistono $x, y, z \in K$ con $x \ne y$ tali che $xz = yz$ oppure $zx = zy$.
"Che bella storia", disse l'Alchimista. | Whatever can be encoded by syntax shouldn't be left to semantics. | Homomorphisms are to algebraic structures as seminorms are to ordered structures.
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