Un monoide di Krull fin. generato di elasticità pari ad un fissato $\alpha \in [1,\infty]$

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Un monoide di Krull fin. generato di elasticità pari ad un fissato $\alpha \in [1,\infty]$

Messaggioda salvo.tringali il mer 17 ago 2016, 9:47

Sia $\alpha \in [1, \infty]$. Provate che esiste un sottomonoide finitamente generato di un monoide libero abeliano la cui elasticità è uguale ad $\alpha$.

Note. Se $\mathscr L$ è una collezione di sottoinsiemi non vuoti di $\mathbf N^+$, si definisce l'elasticità di $\mathscr{L}$ come il sup dell'insieme $\{\sup L/\min L: L \in \mathscr{L}\}$, dove $\sup \emptyset := 0$. Se, quindi, $\mathbb H = (H, \cdot)$ è un monoide atomico (i.e., in cui ogni elemento non invertibile è un prodotto (finito) di elementi irriducibili, o atomi, di $\mathbb H$), si definisce l'elasticità di $\mathbb H$ come l'elasticità dell'insieme $\mathscr{L}(\mathbb H) := \{\mathsf L(x): x \in H \setminus H^\times\}$, dove $H^\times$ è l'insieme delle unità di $\mathbb H$ e $\mathsf L(x)$ indica, per ogni $x \in H$, l'insieme delle lunghezze di $x$ (i.e., l'insieme di tutti gli interi $k \ge 1$ per cui esistono $k$ elementi irriducibili $u_1, \ldots, u_k$ di $\mathbb H$ tali che $x = u_1 \cdots u_k$).
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