$\omega(ab)\le\omega(a)+\omega(b)+1$ in un monoide commutativo

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$\omega(ab)\le\omega(a)+\omega(b)+1$ in un monoide commutativo

Messaggioda salvo.tringali il mar 12 lug 2016, 12:36

Sia $\mathbb H = (H, \cdot)$ un monoide commutativo. Se $a \in H$, indico con $\omega(a)$ l'inf dell'insieme degli interi $v \ge 0$ tali che se $a$ divide un prodotto (non vuoto) della forma $u_1 \cdots u_n$, dove $u_1, \ldots, u_n \in H$, allora $a$ divide un sottoprodotto di $u_1 \cdots u_n$ del tipo $\prod_{i \in I} u_i$ per qualche insieme $I \subseteq [\![1, n ]\!]$ tale che $|I| \le v$ (si assume $\inf(\emptyset) := \infty$). Provate che $\omega(ab) \le \omega(a) + \omega(b) + 1$ per ogni $a, b \in H$, e in effetti $\omega(ab) \le \omega(a) + \omega(b)$ se $\mathbb H$ è anche cancellativo.
"Che bella storia", disse l'Alchimista. | Whatever can be encoded by syntax shouldn't be left to semantics. | Homomorphisms are to algebraic structures as seminorms are to ordered structures.
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