${\sf Mon}([M,{\cal R}],\ast)\cong [(M,\oplus),({\cal R},\diamond)]_\text{lax}^\otimes$

Strutture algebriche (gruppi, anelli, campi, ...), teoria delle categorie, ...

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${\sf Mon}([M,{\cal R}],\ast)\cong [(M,\oplus),({\cal R},\diamond)]_\text{lax}^\otimes$

Messaggioda killing_buddha il ven 1 lug 2016, 13:13

Sia $\cal V$ un cosmo di Benabou. Un $\cal V$-aello (l'assenza della $n$ sta per "senza negativi") e' una $\cal V$-categoria monoidale presentabile; denotiamo un generico $\cal V$-aello con la lettera $\cal R$. Se ora $M$ e' una seconda categoria monoidale, denotiamo con $[M,{\cal R}]$ la categoria dei funtori $M\to \cal R$.

Equipaggiando la categoria $[M,{\cal R}]$ col prodotto di convoluzione definito dalla cofine
\[
(F,G)\mapsto F\ast G\colon \left(m \mapsto \int^{xy} (Fx\diamond Gy)\otimes M(x\oplus y,m)\right)
\]
resta definita la nozione di monoide $F\in [M,{\cal R}]$ rispetto a questa struttura monoidale, e la categoria dei monoidi ${\sf Mon}([M,{\cal R}],\ast)$.

(Hertzfeldt-Kricfalusi, 2002) Mostrate che esiste un'equivalenza di categorie
\[
{\sf Mon}([M,{\cal R}],\ast)\cong [(M,\oplus),({\cal R},\diamond)]_\text{lax}^\otimes
\]
dove $[(M,\oplus),({\cal R},\diamond)]_\text{lax}^\otimes$ denota la categoria dei funtori monoidali lax $M\to \cal R$, dotati cioe' di morfismi di lassita' $Fx\diamond Fy \to F(x\oplus y)$ e $j\to F(0)$ (dove $j$ e' l'unita' monoidale di $\cal R$ e $0\in M$ quella di $M$).
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