$\int^{V\in\bf Vec} V^*\otimes V \cong {\mathbb K}$

Strutture algebriche (gruppi, anelli, campi, ...), teoria delle categorie, ...

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$\int^{V\in\bf Vec} V^*\otimes V \cong {\mathbb K}$

Messaggioda killing_buddha il gio 30 giu 2016, 9:19

Mostrate che se $\mathbb K$ è un campo e $\bf Vec$ è la categoria degli spazi vettoriali di dimensione finita su $\mathbb K$, allora
$$
\int^{V\in\bf Vec} V^*\otimes V \cong {\mathbb K}.
$$
Qual è allora il significato del cocuneo universale $V^*\otimes V \to \int^V V^* \otimes V$?
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Re: $\int^{V\in\bf Vec} V^*\otimes V \cong {\mathbb K}$

Messaggioda Ousia il gio 30 giu 2016, 19:12

$\mathbf{Vec}$ è ovviamente $\mathbf{Vec}$-enriched tensorizzata (su se stessa) col prodotto tensoriale di spazi vettoriali.

$$
\begin{split}
\int ^V \operatorname{Hom} (V, -) \otimes V &= \int ^V \operatorname{Hom} (\operatorname{id}(V), -) \otimes \operatorname{id} (V) \cong \\
&\cong \operatorname{Lan}_{\operatorname{id}} \operatorname{id} \cong\\
&\cong \operatorname{id}
\end{split}
$$
da cui segue immediatamente il claim.

Il cocuneo universale mi aspetto che sia la mappa di valutazione $\alpha \otimes v \mapsto \alpha (v)$ (sulla base del "cos'altro vuoi che sia?"), ma non ho tempo di verificarlo con tutti i crismi.
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