Ogni monoide aciclico finito non banale è un gruppo (a meno dello zero)

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Ogni monoide aciclico finito non banale è un gruppo (a meno dello zero)

Messaggioda salvo.tringali il gio 16 giu 2016, 15:44

Sia $\mathbb H = (H, \cdot)$ un monoide con zero, i.e. $\mathbb H$ è un monoide (= semigruppo unitario) ed esiste $0_\mathbb{H} \in H$ tale che $x \cdot 0_\mathbb{H} = 0_\mathbb{H} \cdot x = 0_\mathbb{H}$ per ogni $x \in H$. Dico che $\mathbb H$ è (un monoide) aciclico se, comunque considerati $a \in H \setminus \{0_\mathbb{H}\}$ e $x \in H$, risulta $a = ax$ oppure $a = xa$ solo se $x \in H^\times$ (= l'insieme degli elementi invertibili del monoide $\mathbb H$).

Provate che se $\mathbb H$ è aciclico, finito (i.e., $|H| < \infty$) e non banale (i.e., $H \ne \{0_\mathbb{H}\}$), allora $H \setminus \{0_\mathbb{H}\}$ è un sottogruppo di $\mathbb H$.
"Che bella storia", disse l'Alchimista. | Whatever can be encoded by syntax shouldn't be left to semantics. | Homomorphisms are to algebraic structures as seminorms are to ordered structures.
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