Se il prodotto è un'unità (in un monoide aciclico con zero)

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Se il prodotto è un'unità (in un monoide aciclico con zero)

Messaggioda salvo.tringali il mer 15 giu 2016, 21:44

Sia $\mathbb H = (H, \cdot)$ un monoide con zero, i.e. $\mathbb H$ è un monoide (= semigruppo unitario) ed esiste $0_\mathbb{H} \in H$ tale che $x \cdot 0_\mathbb{H} = 0_\mathbb{H} \cdot x = 0_\mathbb{H}$ per ogni $x \in H$. Dico che $\mathbb H$ è (un monoide) aciclico se, comunque considerati $a \in H \setminus \{0_\mathbb{H}\}$ e $x \in H$, risulta $a = ax$ oppure $a = xa$ solo se $x \in H^\times$ (= l'insieme degli elementi invertibili del monoide $\mathbb H$).

Siano, adesso, fissati $x, y \in H$. È noto che se $x, y \in \mathbb H^\times$ allora $xy \in \mathbb H^\times$. Provate che se $\mathbb H$ è aciclico, allora è vero anche il viceversa (i.e., $xy \in H^\times$ sse $x, y \in H^\times$).
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Re: Se il prodotto è un'unità (in un monoide aciclico con zero)

Messaggioda Feanor il gio 16 giu 2016, 11:02

salvo.tringali ha scritto:Siano, adesso, fissati $x, y \in H$. Provate che se $\mathbb H$ è aciclico, allora $xy \in H^\times$ sse $x, y \in H^\times$.

La sufficienza è banale: è sufficente considerare $y^{-1}x^{-1}$ come inverso di $xy$. Proviamo che la condizione è anche necessaria.

Sia $u$ l'inverso di $xy$. Vogliamo mostrare che $yu$ è l'inverso di $x$. Da un lato si ha subito $x(yu) = (xy)u = 1_H$. (Si noti che $x$ è in particolare diverso da $0_H$).

D'altra parte notiamo dapprima l'identità $x(yux) = (xyu)x = x$, che per l'aciclicità di $\mathbb H$ implica che l'elemento $yux$ è un'unità.
Poniamo $z$ come l'inverso di $yux$. L'osservazione conclusiva è fornità dalla seguente identità:

    $x = x(yux\cdot z) = (xyux)z = xz$ .
Dunque si ha $yu\cdot x= yu (xz) = yux \cdot z = 1_H$. E' ora immediato che anche $y$ sia in $H^\times$.
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Messaggioda salvo.tringali il gio 16 giu 2016, 11:15

Yes. Si può rendere la conclusione leggermente più interessante osservando che, se $\mathbb H = (H, \cdot)$ è un monoide (qualsiasi) e $x \in H$, allora $x$ è invertibile sse esistono $a, b \in H$ tali che $xa, bx \in H^\times$ (*). Su queste premesse, siano $x, y \in H$ tali che $xy \in H^\times$, i.e. esiste $z \in H^\times$ tale che $xyz = zxy = 1_\mathbb{H}$. Allora $yzxy = y$, e quindi l'aciclità di $\mathbb H$ implica che $yzx \in H^\times$. Ne segue che $x$ e $y$ sono entrambi invertibili sia a destra che a sinistra, e dunque sono invertibili per quanto detto sopra.

(*). È noto che un elemento $z \in H$ è invertibile sse è invertibile sia a destra che a sinistra [Proof: One direction is obvious. For the other: If $w_l z = z w_r = 1_\mathbb{H}$ for some $w_l, w_r \in H$, then $w_l = w_l \cdot 1_\mathbb{H} = w_l (zw_r) = (w_l z)w_r = 1_\mathbb{H} \cdot w_r = w_r$, and hence $z$ is a unit]. Supponiamo che $xa$ e $bx$ siano invertibili per qualche $a, b \in H$, e poniano $u := xa$ e $v := bx$. Allora $xa u^{-1} = v^{-1} bx = 1_\mathbb{H}$, i.e. $x$ è invertibile sia a destra che a sinistra, e tanto è sufficiente per concludere che $x$ è un'unità.
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