Atomicità di un monoide aciclico (con zero) dotato di una length fnc verso un DCP preset

Strutture algebriche (gruppi, anelli, campi, ...), teoria delle categorie, ...

Moderatore: Moderatori

Atomicità di un monoide aciclico (con zero) dotato di una length fnc verso un DCP preset

Messaggioda salvo.tringali il sab 11 giu 2016, 16:35

Un preset è una coppia $\mathbb P = (P, \preceq)$ per cui $P$ è un insieme e $\preceq$ è una relazione riflessiva e transitiva (i.e., un preordine parziale) su $P$. Diciamo, in particolare, che $\mathbb P = (P, \preceq)$ è un DCP preset se, comunque scelta una successione $(a_k)_{k \ge 1}$ a valori in $P$ tale che $a_{k+1} \preceq a_k$ per ogni $k \in \mathbf N^+$, esiste $k_0 \in \mathbf N^+$ tale che $a_k \preceq a_{k+1}$ per $k \ge k_0$ (col risultato che $a_k = a_{k+1}$ nel caso in cui $\preceq$ sia, in effetti, un ordine parziale).

Sia, adesso, $\mathbb H = (H, \cdot)$ un monoide moltiplicativo con zero (non necessariamente commutativo e/o cancellativo). Indico con $\preceq_\mathbb{H}$ il preordine parziale indotto su $H$ dalla relazione di divisibilità (i.e., $x \preceq_\mathbb{H} y$ sse $axb = y$ per qualche $a, b \in H$).

Provate che se $\mathbb H$ è aciclico (i.e., $au = a$ oppure $ua = a$ per qualche $a \in H \setminus \{0_\mathbb{H}\}$ e $u \in H$ solo se $u$ è invertibile) ed esiste un morfismo di preset strettamente monotono $\varphi: (H, \preceq_\mathbb{H}) \to \mathbb P$ per cui $\mathbb P$ è un DCP preset, allora $\mathbb H$ è un monoide atomico (i.e., ogni elemento non invertibile $x \in H \setminus \{0_\mathbb{H}\}$ fattorizza in un prodotto di elementi irriducibili di $\mathbb H$).
"Che bella storia", disse l'Alchimista. | Whatever can be encoded by syntax shouldn't be left to semantics. | Homomorphisms are to algebraic structures as seminorms are to ordered structures.
Avatar utente
salvo.tringali
 
Messaggi: 5354
Iscritto il: mar 17 giu 2008, 19:46
Località: Karl-Franzens-Universität, Graz (AT)

Torna a Algebra

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti