Atomicità di un monoide aciclico che soddisfa la ACC sugli ideali principali destri

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Atomicità di un monoide aciclico che soddisfa la ACC sugli ideali principali destri

Messaggioda salvo.tringali il mer 8 giu 2016, 8:42

Sia $\mathbb H = (H, \cdot)$ un monoide moltiplicativo dotato di un elemento assorbente $0_\mathbb{H}$. Diciamo che $\mathbb H$ è aciclico se, comunque scelti $a \in H \setminus \{0_\mathbb{H}\}$ e $u \in H$, risulta $a = ua$ oppure $a = au$ solo se $u \in \mathbb H^\times$ (l'insieme delle unità, o elementi invertibili, di $\mathbb H$).

Provate che se $\mathbb H$ è aciclico e soddisfa la ascending chain condition sull'insieme $\{aH: a \in H\}$ dei suoi ideali principali destri (risp., sull'insieme $\{Ha: a \in H\}$ dei suoi ideali principali sinistri), allora $\mathbb H$ è atomico, i.e. ogni $a \in H \setminus (\mathbb H^\times \cup \{0_\mathbb{H}\})$ fattorizza in un prodotto (finito) di atomi di $\mathbb H$ (un atomo di $\mathbb H$ è un elemento $a \in H \setminus \{0_\mathbb{H}\}$ tale che $a = bc$ per qualche $b, c \in H$ solo se $b \in \mathbb H^\times$ oppure $c \in \mathbb H^\times$).
"Che bella storia", disse l'Alchimista. | Whatever can be encoded by syntax shouldn't be left to semantics. | Homomorphisms are to algebraic structures as seminorms are to ordered structures.
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