Forum Scienze Matematiche

di **killing_buddha** il lun 8 mar 2010, 22:01

Due categorie $\mathbf C$ e $\mathbf D$ si dicono equivalenti se esistono due funtori $\mathcal F:\mathbf C\to \mathbf D$ , $\mathcal G:\mathbf D\to \mathbf C$ tali che esistano due equivalenze naturali $\boldsymbol\eta:\mathcal F\circ\mathcal G\to 1_{\mathbf D}$ e $\boldsymbol\xi:\mathcal G\circ\mathcal F \to 1_{\mathbf C}$ .

Sia $\mathbf{Vec}_{\mathbb K}$ la categoria degli spazi vettoriali di dimensione finita su un campo $\mathbb K$ fissato, e $\mathbf{V}$ la categoria che ha come oggetti i numeri naturali e come morfismi tra $m$ ed $n$ l'anello delle matrici $m\times n$ (la composizione di frecce e' il prodotto di matrici, quando possibile).

Proposizione. Le categorie $\mathbf{Vec}_{\mathbb K}$ e $\mathbf{V}$ sono equivalenti.

di **Lord K** il mer 10 mar 2010, 15:39

... suppongo che per morfismi di $\mathbf{Vec}_{\mathbb K}$ ci siano le usuali funzioni lineari ... :ph34r:

di **Lord K** il mer 10 mar 2010, 16:24

Preso per buono il punto precedente, considero i due funtori:

$\mathcal F : V \to \mathbf{Vec}_\mathbb{K}$

:arrow:

Definita sugli oggetti come $\mathcal F(n):= W$ dove $W \subset \mathbf{Vec}_\mathbb{K}$ tale che $dim(W)=n$ .

:arrow:

Definita sui morfismi come: $M \in Mat(m \times n)}, \phi \in Morph(W_0,W_1): \mathcal F(M)(v):= Mv = \phi(v)$ , ovvero considero l'endomorfismo associato alla matrice dove $dim(W_0)=n$ e $dim(W_1)=m$ .

Considero $dim: \mathcal P(V) \to \mathbb{N}$ la funzione che assegna ad ogni sottospazio appartenente all'insieme $\mathcal P(V)$ dei sottospazi di $V$ la dimensione del sottospazio.

Conversely :blush:

considero:

$\mathcal G : \mathbf{Vec}_\mathbb{K} \to V$

:arrow:

Definita sugli oggetti come $\mathcal G(W):=dim(W) \in \mathbb{N}$ .
:arrow:

Definita sui morfismi dove $\phi:W_0 \to W_1$ , $dim(W_0)=n$ e $dim(W_1)=m$ con $\mathcal G(\phi)(v):=Mv$ , ovvero assegno la matrice di dimensione $m \times n$ corrispondente all'endomorfismo $\phi$ .

Da questo quindi:

$\boldsymbol\eta:\mathcal F\circ\mathcal G\to 1_{\mathbf D}$

Osserviamo come agisce:

$\bfig \qtriangle[\mathbf{Vec}_\mathbb{K}`V`\mathbf{Vec}_\mathbb{K};\mathcal G`\mathcal F\circ \mathcal G`\mathcal F] \efig$

:arrow:

Per gli oggetti $W \in \mathbf{Vec}_\mathbb{K}$ :

$W \to \mathcal G(W) := dim(W) \in \mathbb{N} \to \mathcal F(\mathcal G(W)) = \mathcal F(dim(W)) := W'$

ora per un noto teorema di algebra lineare esiste sempre un isomorfismo che trasforma la base di $W$ nella base di $W'$ .

:arrow:

Per i morfismi $\phi \in \mathbf{Vec}_\mathbb{K}$ , ovvero $\phi: W_0 \to W_1$ con $dim(W_0)=n$ e $dim(W_1)=m$ :

$\phi \to \mathcal G(\phi) := M_{\phi} \in Mat(m \times n, \mathbb{K}): \phi(v)=Mv \to \mathcal F(\mathcal G(\phi)) = \mathcal F(M_{\phi}) := \phi$

in questo caso abbiamo che esiste l'applicazione identica $id: Morf(\mathbf{Vec}_\mathbb{K}) \to Morf(\mathbf{Vec}_\mathbb{K})$ tale che $id(\phi)=\phi$ .

$\boldsymbol\xi:\mathcal G\circ\mathcal F\to 1_{\mathbf C}$

Graficamente:

$\bfig \qtriangle[V`\mathbf{Vec}_\mathbb{K}`V;\mathcal F`\mathcal G\circ \mathcal F`\mathcal G] \efig$

:arrow:

Per gli oggetti $n \in \mathbb{N}$ :

$n \to \mathcal F(n) := W: dim(W)=n \to \mathcal G(\mathcal F(n)) = \mathcal G(W) := dim(W) = n$

che rappresenta l'identita degli elementi di $\mathbb{N}$ .

:arrow:

Per i morfismi $M \in Mat(m \times n, \mathbb{K})$ :

$M \to \mathcal F(M) := \phi : \phi(v)=Mv \to \mathcal G(\mathcal F(M)) = \mathcal G(\phi) := M'$

dove $M$ ed $M'$ sono matrici che rappresentano $\phi$ in basi genericamente differenti e quindi esiste una matrice $H$ di cambiamento di base (isomorfismo) che trasforma $M$ in $M'$ .

Detto questo si evince tramite la definizione che le due categorie sono equivalenti.

di **killing_buddha** il mer 10 mar 2010, 22:27

endomorfismo

Di solito io chiamo endomorfismo una mappa $f:V\to V$ (o in generale una freccia di $\text{Hom}(X,X)$ per un oggetto $X$ .

Per il resto, non sarebbe male "dire meglio" certe cose. L'esercizio e' volutamente in forma di puzzle, per imparare a mettere insieme i pezzi.

di **Lord K** il gio 11 mar 2010, 9:36

La definizione formale di endomorfismo è equivalente a quella della funzione lineare... :ph34r:

non quella di morfismo o omomorfismo...

P.S.: ho modificato il post precedente con i dettagli che probabilmente volevi :bye:

di **killing_buddha** il gio 11 mar 2010, 13:25

Lord K ha scritto:La definizione formale di endomorfismo è equivalente a quella della funzione lineare... non quella di morfismo o omomorfismo...

Uhm.

P.S.: ho modificato il post precedente con i dettagli che probabilmente volevi

Grazie!

di **Ani-sama** il ven 12 mar 2010, 15:32

Lord K ha scritto:La definizione formale di endomorfismo è equivalente a quella della funzione lineare... non quella di morfismo o omomorfismo...

No, almeno nella terminologia corrente. "Endomorfismo" significa "morfismo di un oggetto in sé stesso", a essere generali (come ti dice anche l'articolo wiki). Le "funzioni lineari" sono gli "omomorfismi" o i "morfismi" nella categoria degli spazi vettoriali. È tutta questione di nomi.

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