Forum Scienze Matematiche

di **untore** il ven 22 gen 2010, 23:29

Siano $\mathbb{K}$ un campo algebricamente chiuso e $f,g\in\mathbb{K}[x,y]$ . Detto $I$ l'ideale generato da $f$ e $g$ , trovare condizioni necessarie e sufficienti su $f,g$ affinché $I$ sia $0$ -dimensionale, ossia tale che la varietà affine $V(I)=\{(x,y) \in\mathbb{K}^2: \forall h\in I, h(x,y)=0 \}$ sia costituita da un numero finito di punti.

di **killing_buddha** il sab 23 gen 2010, 3:37

Spero di non dire idiozie, ma non e' il Nullstellensatz di Hilbert a risolvere interamente la questione?

di **untore** il sab 23 gen 2010, 13:01

Ovviamente il Nullstellensatz gioca un ruolo fondamentale, ma quello che ho in mente io non discende in modo troppo ovvio

In effetti la domada è un po' vaga, ma buona parte del problema sta nel cercare una caratterizzazione bella (la domanda viene da un orale di algebra commutativa)

di **NightKnight** il lun 8 feb 2010, 23:17

Verrebbe da dire $V(f,g)$ è finito se e solo se $f,g$ non hanno fattori primi in comune.
E sembra che la questione abbia a che fare col teorema di Bezout in $\mathbb{P}^2(\mathbb{K})$

di **untore** il mer 10 feb 2010, 1:51

Il claim è "corretto": manca da dire che i due polinomi devono coinvolgere entrambe le variabili!

Soluzioni?

di **NightKnight** il dom 14 feb 2010, 11:01

Intanto un'implicazione:
$\mathbb{K}$ campo algebricamente chiuso; $f,g \in \mathbb{K}[x,y]$ polinomi non costanti con un fattore primo in comune $\Rightarrow$ $V(f,g)$ è infinito

Ci serve un risultato dalla teoria: $\mathbb{K}$ campo algebricamente chiuso. $I \subseteq \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ ideale. Fissiamo un ordinamento monomiale su $\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ . Allora $V(I)$ è finito se e solo se $\forall i=1,...,n \exists m_i \in \mathbb{N} : x_i^{m_i} \in \langle Lt I \rangle$ .
(Ciò equivale a richiedere che per ogni $i=1,...,n$ la base minimale dell'ideale monomiale $\langleLt I \rangle$ contenga $x_i^{m_i}$ per qualche $m_i \in \mathbb{N}$ )

Sia $h$ un polinomio irriducibile tale che $h|f$ e $h|g$ , allora $\langle f,g \rangle \subseteq \langle h \rangle$ e quindi $V(f,g) \supseteq V(h)$ . Quindi per avere la tesi, basta mostrare che $V(h)$ ha infiniti punti, ossia che $\langle h \rangle$ non è un ideale zero-dimensionale. Fissiamo un ordinamento monomiale su $\mathbb{K}[x,y]$ ; e indico con $Lt$ il leading term, cioè il termine del monomio massimo di un polinomio. Sia $\langle Lt \langle h \rangle \rangle$ l'ideale di $\mathbb{K}[x,y]$ generato dai leading term dei polinomi appartenti all'ideale $\langle h \rangle$ . Si vede facilmente che $\langle Lt \langle h \rangle \rangle = \langle Lt h \rangle$ cioè che $\langle Lt \langle h \rangle \rangle$ è un ideale principale generato dal leading term $Lt h$ . Ma allora la base minimale dell'ideale monomiale $\langle Lt \langle h \rangle \rangle$ è $\{ Lt h \}$ e quindi non può contenere sia $x^m$ sia $y^n$ . Perciò per il teorema citato sopra, $V(h)$ è infinito.

di **killing_buddha** il dom 14 feb 2010, 12:19

NightKnight ha scritto:

salvo.tringali ha scritto:La nota: in $\LaTeX$ , esistono appositamente i tag \langle e \rangle, per ottenere le parentesi angolari, e il loro impiego andrebbe preferito all'uso dei simboli $<$ e $>$ , lì dove, appunto, siano necessarie delle parentesi angolari, e non degli operatori di confronto.

di **alvinlee88** il ven 2 lug 2010, 13:36

Con i risultanti:

$f,g$ coprimi in $K[x,y]$ $\iff$ $Ris_x(f,g)\ne0, Ris_y(f,g)\ne 0$ $\iff$ esistono in $(f,g)$ polinomi nella sola $x$ e polinomi nella sola $y$ non costanti (ciò segue dal fatto che se $f,g \in R[x]$ , $R$ dominio di integrità, allora $Ris(f,g)\in(f,g) \cap R$ $\iff$ $V(f,g)$ è finita per la caratterizzazione enunciata da NightKnight.

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