Quadrati esatti secondo Guitart

Strutture algebriche (gruppi, anelli, campi, ...), teoria delle categorie, ...

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Quadrati esatti secondo Guitart

Messaggioda killing_buddha il ven 28 lug 2017, 21:23

Consideriamo $\bf Cat$ come una 2-categoria; un quadrato
\[
\mathcal S = \quad
\begin{array}{ccc}
\bf A & \overset{T}\to & \bf Y \\
{}_S\downarrow &\alpha& \downarrow_V\\
\bf X & \underset{U}\to & \bf B
\end{array}
\]
riempito da una 2-cella $\alpha : US \Rightarrow VT$ si chiama un quadrato.

  • Mostrare che ogni tale quadrato induce una 2-cella $\alpha^\flat : U^*V_* \Rightarrow S_*T^*$
    \[
    \begin{array}{ccc}
    \bf A & \overset{T^*}\leftarrow & \bf Y \\
    {}_{S_*}\downarrow &\alpha^\flat& \downarrow_{V_*}\\
    \bf X & \underset{U^*}\leftarrow & \bf B
    \end{array}
    \]
    definito nella bicategoria dei profuntori da un opportuno cocuneo. Diciamo che un quadrato è Guitart-esatto se $\alpha^\flat$ è un isomorfismo.
  • Mostrare che un quadrato $\mathcal S$ è esatto se e solo se la seguente condizione è verificata: per ogni coppia di funtori $\mathbf{X} \xrightarrow{P} \mathbf{Z} \xleftarrow{Q} \mathbf{Y} $ c'è una biiezione canonica
    \[Nat(Pd_0, Qd_1)\cong Nat(PS, QT)\] se $d_0, d_1$ indicano le proiezioni dall'oggetto comma $(U\downarrow V)$, nel quadrato
    \[
    \begin{array}{ccc}
    (U\downarrow V) & \overset{d_1}\to & \bf Y \\
    {}_{d_0}\downarrow & & \downarrow_V\\
    \bf X & \underset{U}\to & \bf B
    \end{array}
    \]
  • E' vero che ogni oggetto comma definisce un quadrato Guitart-esatto?
  • Sia
    \[
    \begin{array}{ccc}
    \bf A & \overset{F}\to & \bf Y \\
    || &\alpha& \downarrow_L\\
    \bf A & \underset{G}\to & \bf B
    \end{array}
    \]
    un'estensione di Kan sinistra di $G$ lungo $F$; è vero che questo quadrato è Guitart-esatto?
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