Splitting lemma in $\infty$-categorie stabili

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Splitting lemma in $\infty$-categorie stabili

Messaggioda Ousia il mar 27 giu 2017, 17:22

Provare quanto segue:

Sia $\mathscr C$ una $\infty$-categoria stabile, e sia $X \stackrel{f}{\to} Y \stackrel{g}{\to} Z$ una successione di co/fibra in $\mathscr C$. Le seguenti condizioni sono equivalenti:

  • $Y \simeq X \oplus Z$ con $f$ omotopa all'ovvia inclusione e $g$ omotopa all'ovvia proiezione;
  • Esiste $\widetilde f : Y \to X$ tale che $\widetilde f f \simeq \operatorname{id}_X$;
  • Esiste $\widetilde g : Z \to X$ tale che $g \widetilde g \simeq \operatorname{id}_Z$.
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Re: Splitting lemma in $\infty$-categorie stabili

Messaggioda maurer il mer 5 lug 2017, 17:13

Se $Y \simeq X \oplus Z$, è evidente che la successione è split.

Supponiamo che $f$ abbia una retrazione $\tilde{f}$. Allora abbiamo anche una mappa $h := \tilde{f} \oplus g : Y \to X \oplus Z$. Sia $i : X \to X \oplus Z$ l'inclusione e $p_1 : X \oplus Z \to X$, $p_2 : X \oplus Z \to Z$ le proiezioni.

Abbiamo $p_2 \circ h \simeq g$ per definizione di $h$. Inoltre, $p_1 \circ h \circ f \simeq \tilde{f}$ e $p_2 \circ h \circ f \simeq g \circ f \simeq 0$. Segue che $h \circ f \simeq i$. Quindi $h$ definisce un morfismo di successioni (co)fibra. Basta mostrare che $h$ è un'equivalenza.

Abbiamo due modi per farlo:
  • andiamo a lavorare in categoria dell'omotopia $\rm h(\mathcal C)$, che è una categoria triangolata, e usiamo lo splitting lemma per categorie triangolate;
  • definiamo un morfismo $X \oplus Z \to Y$ come segue: osserviamo innanzi tutto che la mappa $q : Z \to X[1]$ è nulla. Infatti, $q \simeq \tilde{f}[1] \circ f[1] \circ q \simeq 0$, perché $f[1]$ e $q$ formano una (co)fibra. Questo produce una mappa canonica $\tilde{g} : Z \to Y$ che splitta $g$. Abbiamo quindi un morfismo
    $$f \oplus \tilde{g} : X \oplus Z \to Y \oplus Y \to Y , $$dove il secondo morfismo è l'addizione (ogni oggetto in un'$\infty$-categoria stabile è un monoide $\mathbb E_\infty$).
    Questo morfismo è l'inverso di $h$ (lo si può verificare, ad esempio, nella categoria dell'omotopia), da cui l'asserto.
Je n'ai jamais compris qu'on se rassasiât d'un être...
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